Question

suponha que uma empresa de laticínio o contrate para desenvolver uma embalagem com base circular com capacidade de i de leite. quais devem ser as dimensões do raio a te e o altura para que o gasto com material seja o minimo possível?

Answer 1

Utilizando multiplicadores de Lagrange para minimizar a área do cilindro e por consequência os gastos de materiais, temos que o raio vale $r=\sqrt[3]{\frac{L}{2\pi}}$ e a altura $h=2\sqrt[3]{\frac{L}{2\pi}}$.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de multiplicadores de Lagrange, onde existe uma função f que queremos maximizar ou minimizar, e uma função g sendo a condição.

Este metodo nos diz que:

$\nabla f(x^i)=\lambda.\nabla g(x^i)</p><p></p><p>E então vamos encontrar as funções do nosso problema.</p><p></p><p><strong>A função f do nosso problema, que queremos minimizar é a função área, para minimizar os custos:</strong></p><p><strong></strong></p><p>[tex]A(r,h)=2\pi.r^2+2\pi.r.h$   (área do cilindro).

E a nossa função condição é o volume:

$V(r,h)=\pi.r^2.h=V_0$  (volume do cilindro).

Onde Vo é um valor constante.

Então fazendo as derivadas:

$\frac{dA}{dr}=\lambda.\frac{dV}{dr}$

$\frac{dA}{dh}=\lambda.\frac{dV}{dh}$

Temos:

$(4\pi.r+2\pi.h)=\lambda.(2\pi.r.h)$

$(2\pi.r)=\lambda.(\pi.r^2)$

Agora temos estas duas equações e para simplificar vamos dividir a de cima pela de baixo:

$\frac{4\pi.r+2\pi.h}{2\pi.r}=\frac{\lambda.(2\pi.r.h)}{\lambda(\pi.r^2)}$

$2+\frac{h}{r}=\frac{2h}{r}$

$2=\frac{2h}{r}-\frac{h}{r}$

$2=\frac{h}{r}$

$h=2r$

Então temos a nossa condição, para esta área ser minima, precisamos que a altura seja duas vezes o raio.

Agora sabendo que a altura é o dobro do raio, podemos encontrar o valor deles usando o valor dado de L volume de leite:

$V(r,h)=\pi.r^2.h=V_0$

$\pi.r^2.2r=L$

$2\pi.r^3=L$

$r=\sqrt[3]{\frac{L}{2\pi}}$

Assim temos que o raio vale $r=\sqrt[3]{\frac{L}{2\pi}}$ e a altura $h=2\sqrt[3]{\frac{L}{2\pi}}$.