Question

Suponha que uma construtora solicitou a um topógrafo o estudo de um terreno não regular. Pediram que o mesmo apresentasse os dados de um corte específico do terreno que, aparentemente, apresentava o formato de um paralelogramo. A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono: A= (2, 6, -5); B= (6, 9, 7); C= (5, 5, 0); D= (3, 10, 2). Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre: Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo, anexando a memória de cálculos e desenho da imagem (manuscrito ou programa do office).

Answer 1

Sendo A = (2,6,-5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) vértices de um quadrilátero, então o mesmo será um paralelogramo se:

Os lados opostos forem congruentes e paralelos

e

As diagonais se interceptam no ponto médio.

Ao construirmos o quadrilátero, podemos observar que os lados opostos são:  AC e BD, AD e BC.

Para verificarmos se os lados opostos são paralelos ou não vamos determinar os vetores AC, BD, AD e BC:

AC = (3,-1,5)

BD = (-3,1,-5)

AD = (1,4,7)

BC = (-1,-4,-7).

Perceba que os vetores AC e BD, AD e BC são Linearmente Dependentes entre si. Portanto, os lados opostos são paralelos.

Além disso, os lados opostos são congruentes.

Agora, vamos calcular o ponto médio das diagonais AB e CD:

$m(A,B) = (\frac{2+6}{2},\frac{6+9}{2},\frac{-5+7}{2}) = (4,7.5,1)$

$m(C,D) = (\frac{5+3}{2},\frac{5+10}{2},\frac{0+2}{2}) = (4,7.5,1)$.

Portanto, podemos concluir que os pontos A, B, C, D são vértices de um paralelogramo.