Question

Suponha que uma construtora solicitou a um topógrafo o estudo de um terreno não regular. Pediram que o mesmo apresentasse os dados de um corte específico do terreno que, aparentemente, apresentava o formato de um paralelogramo.
A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono:
A= (2, 6, -5);
B= (6, 9, 7);
C= (5, 5, 0);
D= (3, 10, 2).

Answer 1

Temos que determinar se o quadrilátero cujos vértices são os pontos A = (2,6,-5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) é ou não um paralelogramo.

Se o quadrilátero for um paralelogramo, então os lados opostos serão congruentes e paralelos e as diagonais se interceptarão no ponto médio.

Os lados opostos são AD e BC, AC e BD.

Vamos definir os vetores AD, BC, AC e BD:

AD = (1,4,7)

BC = (-1,-4,-7)

AC = (3,-1,5)

BD = (-3,1,-5).

Podemos concluir que os vetores são Linearmente Dependentes. Logo, os lados AD e BC, AC e BD são paralelos. Além disso, são congruentes.

Agora, vamos calcular o ponto médio das diagonais AB e CD:

$M(A,B) = (\frac{2+6}{2}, \frac{6+9}{2}, \frac{-5+7}{2}) = (4,7.5,1)$

$M(C,D) = (\frac{5+3}{2}, \frac{5+10}{2}, \frac{0+2}{2}) = (4,7.5,1)$.

Portanto, podemos concluir que as diagonais se interceptam no ponto médio.

Logo, os pontos A, B, C e D são vértices de um paralelogramo.