Question

Suponha que uma construtora solicitou a um topógrafo o estudo de um terreno não regular. Pediram que o mesmo apresentasse os dados de um corte específico do terreno que, aparentemente, apresentava o formato de um paralelogramo. A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono: A= (2, 6, -5); B= (6, 9, 7); C= (5, 5, 0); D= (3, 10, 2). Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre: Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo, anexando a memória de cálculos e desenho da imagem (manuscrito ou programa do office).

Answer 1

Ao marcarmos os pontos A = (2,6,-5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) podemos observar que os lados opostos são AC e BD, AD e BC.

Além disso, temos que as diagonais do quadrilátero são os segmentos AB e CD.

Se o quadrilátero for um paralelogramo, então os lados opostos são congruentes e paralelos e as diagonais e encontrarão no ponto médio.

Os vetores AC, BD, AD e BC são definidos por:

AC = (3,-1,5), BD = (-3,1,-5), AD = (1,4,7), BC = (-1,-4,-7).

Observe que os vetores são Linearmente Dependentes entre si. Portanto, os lados AC e BD, AD e BC são paralelos entre si.

Além disso, podemos observar que os lados AC e BD, AD e BC são congruentes entre si.

Basta agora calcularmos o ponto médio das diagonais AB e BC:

$M(A,B)=(\frac{2+6}{2}, \frac{6+9}{2}, \frac{-5+7}{2}) = (4,7.5,1)$

$M(C,D)=(\frac{5+3}{2}, \frac{5+10}{2}, \frac{5+2}{2}) = (4,7.5,1)$.

Podemos concluir que os pontos A, B, C, D são vértices de um paralelogramo.