Question

Suponha que uma construtora solicitou a um topógrafo o estudo de um terreno não regular. Pediram que o mesmo apresentasse os dados de um corte específico do terreno que, aparentemente, apresentava o formato de um paralelogramo. A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono: A= (2, 6, -5); B= (6, 9, 7); C= (5, 5, 0); D= (3, 10, 2). Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre: Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo

Answer 1

O paralelogramo possui algumas propriedades importantes. Para essa questão, vamos utilizar duas:

- os lados opostos são congruentes e paralelos.

- as diagonais cortam-se ao meio.

Os lados opostos são: AD e BC, AC e BD.

Calculando os vetores AD, BC, AC e BD obtemos:

AD = (1, 4, 7)

BC = (-1, -4, -7)

AC = (3, -1, 5)

BD = (-3, 1, -5)

Perceba que os vetores AD e BC, AC e BD são Linearmente Dependentes. Portanto, podemos concluir que os segmentos AD e BC, AC e BD são paralelos entre si.

Agora, vamos calcular as distâncias AD, BC, AC e BD:

d²(A,D) = (3 - 2)² + (10 - 6)² + (2 + 5)²

d²(A,D) = 1 + 16 + 49

d(A,D) = √66

d²(B,C) = (5 - 6)² + (5 - 9)² + (0 - 7)²

d²(B,C) = 1 + 16 + 49

d(B,C) = √66

d²(A,C) = (5 - 2)² + (5 - 6)² + (0 + 5)²

d²(A,C) = 9 + 1 + 25

d(A,C) = √35

d²(B,D) = (3 - 6)² + (10 - 9)² + (2 - 7)²

d²(B,D) = 9 + 1 + 25

d(B,D) = √35.

Portanto, podemos concluir que os lados AD e BC, AC e BD são congruentes entre si.

Por fim, vamos calcular o ponto médio das diagonais.

O ponto médio da diagonal CD é $(\frac{5+3}{2}, \frac{5+10}{2}, \frac{0+2}{2}) = (4, 7.5, 1)$. Já o ponto médio da diagonal AB é $(\frac{6+2}{2}, \frac{9+5}{2}, \frac{7-5}{2}) = (4, 7.5, 1)$.

Portanto, podemos concluir que os pontos A, B, C, D são vértices de um paralelogramo.