Question

Suponha que uma construtora solicitou a um topógrafo o estudo de um terreno não regular. Pediram que o mesmo apresentasse os dados de um corte específico do terreno que, aparentemente, apresentava o formato de um paralelogramo.


A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono:


A= (2, 6, -5);


B= (6, 9, 7);


C= (5, 5, 0);


D= (3, 10, 2).

Answer 1

Completando a questão:

Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre: Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo.

Solução

Vamos relembrar algumas propriedades do paralelogramo:

- Os lados opostos são paralelos

- As diagonais cortam-se ao meio.

Perceba que os lados opostos são: AD e BC, AC e BD.

Calculando os vetores AD, BC, AC e BD:

AD = (1, 4, 7)

BC = (-1, -4, -7)

AC = (3, -1, 5)

BD = (-3, 1, -5)

Perceba que os vetores AD e BC, AC e BD são linearmente dependentes.

Então, podemos afirmar que os segmentos AD e BC, AC e BD são paralelos.

Além disso, vamos confirmar que as diagonais se cortam no ponto médio.

As diagonais são: AB  e CD.

O ponto médio de AB é: $(\frac{6+2}{2},\frac{6+9}{2}, \frac{-5+7}{2}) = (4, \frac{15}{2}, 1)$.

Já o ponto médio de CD é: $(\frac{5+3}{2},\frac{5+10}{2}, \frac{0+2}{2}) = (4, \frac{15}{2}, 1)$.

Portanto, podemos concluir que o polígono é um paralelogramo.