Question

Suponha que uma caixa d'água (sem tampa) deva ter formato de um paralelepípedo reto de base retangular, tem altura igual a largura e que a soma das áreas de suas paredes (incluindo o fundo) seja 6 m quadrados. Determine as dimensões da caixa d' água para que a sua capacidade seja a maior possível.

Answer 1

V:volume
H:altura
L:largura
C:comprimento
H=L

A=2*(H*L+H*C) + L * C =6 m²

2*(H*L+H*C) + L * C =6 

2*(L*L+L*C) + L * C =6 

2L²+3L*C =6   ==> C=(6-2L²)/3L

V=C*L*H

V=C*L*L

V=C*L²

V = (6-2L²)/3L *  L²


V = (6L-2L³)/3

V=2L-2L³/3 


dV/dl=2 -6L²/3 =0 

2-2L²= 0 ==> L²=1  ==>L=1

V=2*1 -2*1/3 =2-2/3=4/3

H=L=1 

V=C*L*H ==> 4/3= C*1*1 ==>C=4/3

Dimensões: L=1m,H=1m e C=4/3m  .....teremos o volume máximo =4/3 m³

Answer 2

Sobre o caso em questão, temos que as dimensões da caixa para que sua capacidade seja a maior possível será L= 1m, H = 1m e C = 4/3m.

Primeiramente, vamos retirar os dados da questão:

V: volume

H: altura

L: largura

C: comprimento

Em que teremos a seguinte relação: H = L.

A = 2.(H.L+H.C) + L. C = 6 m²

2.(H.L+H.C) + L. C = 6 

2.(L.L+L.C) + L. C = 6 

2L²+ 3L.C = 6  

C = (6 - 2L²)/3L

Assim, vamos colocar na fórmula do volume:

V = C.L.H

V = C.L.L

V = C.L²

V = (6 - 2L²)/3L. L²

V = (6L - 2L³)/3

V = 2L - 2L³/3 

dV/dl = 2 - 6L²/3 = 0 

2 - 2L²= 0 ==> L² = 1  ==> L = 1

V = 2.1  - 2.1/3 = 2 - 2/3 = 4/3

H = L = 1 

V = C.L.H ==> 4/3 = C.1.1 ==> C = 4/3

Nesse sentido, podemos concluir que as dimensões da caixa de água será de  L= 1m, H = 1m e C = 4/3m, onde o volume máximo será dado por = 4/3 m³

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espero ter ajudado!