Question

suponha que um meteorito pesado está a s quilômetros do centro da terra, e que sua velocidade de entrada na atmosfera terrestre seja inversamente proporcional a √s. mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a s2

Answer 1

Utilizando definições de cinematica e regra da cadeia, vemos que a aceleração é dependente do inverso do espaço s ao quadrado, da forma $a=-\frac{k^2}{2s^2}$.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que esta velocidade é dada por:

$v=k.\frac{1}{\sqrt{s}}=k.s^{-\frac{1}{2}}$

Onde k é a constante de proporcionalidade.

E sabemos que aceleração é calculada pela derivada temporal da velocidade, ou seja:

$a=\frac{dv}{dt}$

Como a nossa velocidade só depende do espaço e não do tempo explicitamente, podemos usar regra da cadeia neste caso para escrever a aceleração como:

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}.\frac{ds}{dt}$

Porém sabemos que a derivada do espaço em relação ao tempo é a própria velocidade, então:

$a=\frac{dv}{ds}.v$

Agora basta encontrarmos esta derivada da velocidade e substituirmos ambos a derivada quanto a velocidade em si na equação acima:

$v=k.s^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dv}{ds}=-\frac{k}{2}.s^{-\frac{3}{2}}$

Ficando com:

$a=\frac{dv}{ds}.v$

$a=-\frac{k}{2}.s^{-\frac{3}{2}}.k.s^{-\frac{1}{2}}$

$a=-\frac{k^2}{2}.s^{-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}$

$a=-\frac{k^2}{2}.s^{-\frac{4}{2}}$

$a=-\frac{k^2}{2}.s^{-2}$

$a=-\frac{k^2}{2s^2}$

Assim vemos que a aceleração é dependente do inverso do espaço s ao quadrado, da forma $a=-</strong><strong>\</strong><strong>frac{k^2}{2s^2}$.