Question

Suponha que um gás sofra uma transformação tal que sua pressão seja inversamente proporcional ao volume elevado a um expoente β, ou seja,

Answer 1

Olá, boa noite.

Suponha que um gás sofra uma transformação tal que sua pressão seja inversamente proporcional ao volume elevado a um expoente $\beta$:

                                                    $p=\dfrac{A}{V^{\beta}}$

ao longo de um caminho em que $A$ é constante. Se este gás se expande de um volume $V_1$ até um volume $V_2$, devemos mostrar que o trabalho $W$ realizado pelo gás nesta transformação é dado por:

                                          $\dfrac{1}{1-\beta}\cdot (p_2\cdot V_2-p_1\cdot V_1)$

Primeiro, lembre-se que o trabalho realizado por um gás que sofre uma transformação e cuja pressão $p$ é dada em função de seu volume $V$, quando este se expande de um volume $V_1$ até um volume $V_2$ é calculado pela integral: $W=\displaystyle{\int_{V_1}^{V_2}p\,dV}$.

Então, teremos:

$W=\displaystyle{\int_{V_1}^{V_2}\dfrac{A}{V^{\beta}}\,dV}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da constante

$W=\displaystyle{A\cdot\int_{V_1}^{V_2}\dfrac{1}{V^{\beta}}\,dV}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $\dfrac{1}{V^{\beta}}=V^{-\beta}$

$W=A\cdot\dfrac{V^{-\beta+1}}{-\beta+1}~\biggr|_{V_1}^{V_2},~\beta\neq1$

Aplique os limites de integração

$W=A\cdot\dfrac{{V_2}^{-\beta+1}-{V_1}^{-\beta+1}}{-\beta+1}$

Reorganizamos os termos nos expoentes e denominador

$W=\dfrac{A}{1-\beta}\cdot({V_2}^{1-\beta}-{V_1}^{1-\beta})$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$W=\dfrac{1}{1-\beta}\cdot(A\cdot{V_2}^{1-\beta}-A\cdot{V_1}^{1-\beta})$

Reescreva as potências como ${V}^{1-\beta}=\dfrac{V}{{V}^{\beta}}$

$W=\dfrac{1}{1-\beta}\cdot\left(A\cdot\dfrac{V_2}{{V_2}^{\beta}}-A\cdot\dfrac{V_1}{{V_1}^{\beta}}\right)$

De acordo com o enunciado, facilmente deduz-se que $A\cdot\dfrac{1}{{V_2}^{\beta}}=p_2$ e $A\cdot\dfrac{1}{{V_1}^{\beta}}=p_1$. Assim, teremos:

$W=\dfrac{1}{1-\beta}\cdot (p_2\cdot V_2-p_1\cdot V_1)~~\blacksquare$