Question

Suponha que seu pai muito ingenuamente, proponha lhe pagar R$0,01 no dia primeiro de fevereiro, R$0,02 no dia 2, R$0,04 no dia 3, R$0,08 no dia 4 e assim sucessivamente até o dia 28 de fevereiro. A partir deste momento, sua proposta é nunca mais lhe dar mesada.
a) Quanto você receberá no dia 28 ?
b) Quanto você receberá, no total, nesse mês ?

Answer 1

a) Irá receber 1342177,28 no 28º (vigésimo oitavo) dia.

b)Receberá 2684353,27 no mês inteiro (se não for ano bissexto).

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Gabi, que vamos ter aqui uma PG de razão "2", pois se o seu pai lhe paga R$ 0,01 no primeiro dia de fevereiro, R$ 0,02 no segundo dia, R$ 0,04 no 3º dia R$ 0,04 no 4º dia e assim sucessivamente até o dia 28, então você já pode concluir que teremos uma PG de razão "2", pois: 0,08/0,04 = 0,04/0,02 = 0,02/0,01 = 2.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a) Quanto você receberá no dia 28.
Veja: para calcular quanto você receberá no dia 28, então basta calcular qual será o valor do 28º termo (a28). Para isso, basta utilizar a fórmula do termo geral de uma PG, que é dada por:

an = a1*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima, "an" é o termo que se quer encontrar. Como queremos encontrar o "a28", então substituiremos "an" por "a28". Por sua vez, substituiremos "a1" por "0,01", que é o primeiro termo da PG. Por seu turno, substituiremos "q" per "2" (que é a razão da PG) . E, finalmente, substituiremos "n" por "28", pois queremos encontrar o valor do 28º termo.
Assim, fazendo essas substituições, teremos;

a28 = 0,01*2²⁸⁻¹
a28 = 0,01*2²⁷ ---- note que 2²⁷ = 134.217.728 . Assim:
a28 = 0,01*134.217.728 --- note que este produto dá: 1.342.177,28. Logo:

a28 = 1.342.177,28 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) Quanto você receberá, no total, nesse mês de fevereiro?
Veja que aqui, basta que apliquemos a fórmula da soma dos termos de uma PG, que é dada por:

Sn = a1*[qⁿ - 1]/(q-1)

Na formula acima, "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos de uma PG. Como queremos encontrar a soma dos 28 primeiros termos da PG, então substituiremos "Sn" por "S28". Por seu turno, substituiremos "a1" por "0,01" (que é o primeiro termo). Por sua vez, substituiremos "q" por "2" (que é a razão da PG) e substituiremos "n" por 28, que é o número de termos da PG. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

S28 = 0,01*[268.435.456 - 1]/(2-1)
S28 = 0,01*[268.435.455]/1 ---- ou apenas:
S28 = 0,01*268.435.455 --- veja que este produto dá 2.684.354,55. Logo:

S28 = 2.684.354,55 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.