Question

Suponha que para todo x, |f(x)|≤x elevado a 4. Calcule limx→0 f(x)/x²

Answer 1

Para a solução deste limite, use o teorema do confronto que dado duas função g(x) e l(x) e temos uma função f(x) tal que g(x) $\leq$ f(x) $\leq$ l(x), a f(x) esta entre as funções g(x) e l(x). Se o limite g(x) e l(x) quando x tende a uma constante a for igual um t real, o limite de f(x) quando x tende mesma constante a é igual a t.

$|f(x)| \leq x^{4} \\\\lim_{x \to \\0}\ \frac{f(x)}{x^{2} } \\\\0 \leq |f(x)|\leq x^{4} \\\\-x^{4} \leq f(x)\leq x^{4} \\\\\frac{-x^{4} }{x^{2} }\leq \frac{f(x)}{x^{2} } \leq \frac{x^{4} }{x^{2} } \\\\-x^{2}\leq \frac{f(x)}{x^{2} } \leq {x^{2} } \\\\lim_{x\to \\0} -x^{2} \leq \lim_{x\to \\0} \frac{f(x)}{x^{2} } \leq \lim_{x\to \\0} x^{2}\\\\\lim_{x\to \\0} x^{2} = 0 \\\lim_{x\to \\0} -x^{2} = 0$

Pelo teorema do confronto $\lim_{x \to \\0} \frac{f(x) }{x^{2} } = 0$