Question

Suponha que para resolver determinadoproblema você precise calcular a integral da função
f (x,y) =x 2 + y 2
sobre a região D limitada pelasemicircunferência x 2 + y 2 = 4 . Paratal solução você percebeu que é necessário
fazer uma mudança de coordenadas e calcular essa integral em coordenadas polares.Assinale a alternativa que
contém o resultado dessa integral em coordenadas polares.
A) 3π.
B) π.
C) 2π.
D) 4π.
E) 6π.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

f(x,y) = x² + y²  [Equação de um parabolóide que no eixo z varia livremente]

Mudando as variáveis para funções de coordenadas polares.

x² + y² = r²

x² + y² = 4  

raio = 2

$\int\limits^\pi _{-\pi} \int\limits^2_{-2} {r^{2}  } \, rdr \, d\alpha$

$\int\limits^\pi _{-\pi} \int\limits^2_{-2} {r^{3}  } \, dr \, d\alpha\\\\int\limits^\pi _{-\pi} {\frac{r^{4} }{4} }|\limits^2_{-2} \,d\alpha\  \\\\int\limits^\pi _{-\pi} {(\frac{(2)^{4} }{4} -(\frac{(-2)^{4} }{4}) } \, d\alpha  \\\int\limits^\pi _{-\pi} {8} \, d\alpha  \\(8\alpha)  \limits^\pi _(-\pi)\\\\=16\pi$

¢ = É o ângulo com que a função varia. Só que como é delimitada apenas pela semicircunferência superior, o ângulo varia apenas de -π/2 à π/2. [não consertei na integral]

r = raio. Como a função está delimitada por esta semicircunferência superior, no eixo de raio ela é delimitada pelo raio dessa semicircunferência superior centrada na origem de raio 2. Logo, o raio varia de -2 à 2.

r.dr = é só um fator de correção para o raio.

Desculpa pela formatação, foi feito pelo celular.

Answer 2

Resposta:

Qual é a resposta CERTA?

Explicação passo-a-passo: