Question

Suponha que os vectores l, m,n são LI. Mostre que os vectores l + m, l − m e l + m + n também são LI. FI

alguém me ajuda? por favor ​

Answer 1

Resposta:

soma de LI é LI

Explicação passo a passo:

Seja l um vetor, então

$l =ax_1+bx_2 =0$ pois l é Linearmente Independente. (L.I)

do mesmo modo m e n também são então.

$m = \alpha x_1 + \beta x_2 =0\\\\n =\tau x_1 + \eta x_2 =0$

então a soma de vetores LI também é LI. pois

$l+m =(ax_1+bx_2) + (\alpha x_1+\beta x_2)\\l+m =ax_1+\alpha x_1+bx_2+\beta x_2\\l+m =(a+\alpha )x_1+(b+\beta )x_2 =0$

logo l+m = cx1 + dx2 que é um novo vetor LI

Sabemos o produto de um escalar por um vetor é um múltiplo deste vetor, ou seja -m é um vetor em direção oposta a m, logo em -m suas entradas são negativas, portanto

$l-m =ax_1 + bx_2-(\alpha x_1+\beta x_2)\\l-m =ax_1-\alpha x_1+bx_2-\beta x_2\\l-m =(a-\alpha)x_1+(b-\beta )x_2$

que também é LI

$l+m =cx_1+dx_2$ e n temos que

$l+m+n = (cx_1+dx_2) + (\tau x_1 + \eta x_2)\\ \\=(c+\tau)x_1 +(d+\eta)x_2 =0$

ou

$l+m+n =(a+\alpha +\tau)x_1+(b+\beta +\eta)x_2 =0$ que é LI