Question

Suponha que os prefeitos de três cidades vizinhas decidiram fazer um projeto conjunto para a construção de um armazém para separação de materiais recicláveis e que pudesse funcionar também como um ponto de entrega voluntária. Os prefeitos decidiram que o armazém deveria ser construído em um local equidistante aos centros das cidades, representados em um plano cartesiano pelos pontos A= (1, 3), B = (10, 0) e C= (3, 7). Nessa situação, quais são as coordenadas do ponto escolhido?

Answer 1

As coordenadas do ponto escolhido são: (6, 3).

Explicação:

Distância do armazém ao ponto A:

$d_{PA} = \sqrt{(x_{A}-x_{P})^2 + (y_{A}-y_{P})^2} \\\\d_{PA} = \sqrt{(1-x_{P})^2 + (3-y_{P})^2}$

Distância do armazém ao ponto B:

$d_{PB} = \sqrt{(x_{B}-x_{P})^2 + (y_{B}-y_{P})^2} \\\\d_{PB} = \sqrt{(10-x_{P})^2 + (0-y_{P})^2}$

Distância do armazém do ponto C.

$d_{PC} = \sqrt{(x_{C}-x_{P})^2 + (y_{C}-y_{P})^2} \\\\d_{PA} = \sqrt{(3-x_{P})^2 + (7-y_{P})^2}$

Como o armazém deveria ser construído em um local equidistante aos centros das cidades, temos que:

$d_{PA} = d_{PB} = d_{PC}$

Assim, temos:

$\sqrt{(10-x_{P})^2 + (0-y_{P})^2} = \sqrt{(1-x_{P})^2 + (3-y_{P})^2}$

Elevando tudo ao quadrado, fica:

(10 - Xp)² + Yp² = (1 - Xp)² + (3 - Yp)²

100 - 20Xp + Xp² + Yp² = 1 - 2Xp + Xp² + 9 - 6Yp + Yp²

- 20Xp + 2Xp + 6Yp = 1 + 9 - 100

- 18Xp + 6Yp = - 90

Também:

$\sqrt{(10-x_{P})^2 + (0-y_{P})^2} = \sqrt{(3-x_{P})^2 + (7-y_{P})^2}$

Elevando tudo ao quadrado, fica:

(10 - Xp)² + Yp² = (3 - Xp)² + (7 - Yp)²

100 - 20Xp + Xp² + Yp² = 9 - 6Xp + Xp² + 49 - 14Yp + Yp²

- 20Xp + 6Xp + 14Yp = 9 + 49 - 100

- 14Xp + 14Yp = - 42

Agora, fazemos um sistema de equações:

{- 18x + 6y = - 90  ----> ·(7)

{- 14x + 14y = - 42  ----> ·(-3)

Fica:

{- 126x + 42y = - 630

{+ 42x - 42y = 126   +

- 84x = - 504

84x = 504

x = 504

      84

x = 6

Agora, o valor de y.

- 18x + 6y = - 90

- 18.6 + 6y = - 90

- 108 + 6y = - 90

6y = - 90 + 108

6y = 18

y = 18/6

y = 3

Portanto, as coordenadas do ponto escolhido são: (6, 3).