Question

Suponha que o sistema de coordenadas x' y' tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas xy por um ângulo teta. Prove : para cada valor de teta, a equação x^2 + y^2 = r^2 é transformada na equação de x'^2+y'^2= r^2. Dê uma explicação geométrica

Answer 1

Analisando a equação da circunferência dada no enunciado e aplicando transformações de coordenada, temos que ela é de fato imutavel, observe:

Quando se faz uma troca de coordenadas por ortação, as novas coordenadas ficam da seguinte forma:

$x'=cos(\theta).x-sen(\theta).y$

$y'=sen(\theta).x+cos(\theta).y$

Então se tinhamos esta equação:

$x^2+y^2=r^2$

Basta substituir x por x' e y por y' e veremos que esta equação se mantem:

$x^2+y^2=r^2$

$x'^2+y'^2=r^2$

$(cos(\theta).x-sen(\theta).y)^2+(sen(\theta).x+cos(\theta).y)^2=r^2$

$cos^2(\theta).x^2+sen^2(\theta).y^2-2.cos(\theta).sen(\theta).xy+sen^2(\theta).x^2+cos^2(\theta).y^2+2.cos(\theta).sen(\theta).xy=r^2$

Cortando os termos cruzados que tem mesmo sinal:

$cos^2(\theta).x^2+sen^2(\theta).y^2+sen^2(\theta).x^2+cos^2(\theta).y^2=r^2$

Colocando x e y em evidência:

$(cos^2(\theta)+sen^2(\theta)).y^2+(cos^2(\theta)+sen^2(\theta)).x^2=r^2$

$(1).y^2+(1).x^2=r^2$

$y^2+x^2=r^2$

Ou seja esta equação não se modifica.

A explicação geometrica disso é que esta equação é a equação de um criculo com centro na origem (0,0), e se você rodar um circulo ele continua a mesma coisa, pois não existe uma posição especifica que o circulo permanece o mesmo, então a equação também é imutavel.