Question

Suponha que o óleo derramado pela ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular, cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 metros por minuto. A velocidade com que a área do derramamento cresce quando seu raio é de 60 metros é: Escolha uma: a. 237 m2/min b. 574 m2/min c. 754 m2/min d. 154 m2/min e. 134 m2/min

Answer 1

Queremos saber dA/dt. Fazendo pela Regra da Cadeia, temos:

dA/dt=dA/dr*dr/dt

O problema diz que o raio cresce a uma taxa constante de 2 metros por minuto e sabemos ainda que a área circular é dada por A=πr².

dA/dt=2πr*2

Quando o seu raio é de 60 metros, temos:
dA/dt=2π60*2=754 m²/min

Answer 2

A taxa de variação da área da mancha em relação ao tempo é dA/dt e pode ser relacionada com a taxa de variação da área em relação ao seu raio e a taxa de variação do raio com o tempo, utilizando a regra da cadeia:

dA/dt = dA/dr * dr/dt

Pelo enunciado, sabemos que dr/dt = 2 m/min e sabemos também que a área do círculo é dada por A = πr². Portanto, a variação da área em relação ao raio é:

dA/dr = 2πr

Portanto, a variação da área com o tempo tem a expressão:

dA/dt = 2πr*2 = 4πr

Quando r = 60 metros, temos:

dA/dt = 4π60

dA/dt = 240π ≈ 754 m²/min

Resposta: C