Question

Suponha que o móvel se mova do ponto inicial P_0=(0,0,3), correspondendo a t_0=0 ao ponto P_1, correspondendo a t=t_1, ao longo de uma curva no espaço de equações x=3sen(t) ,y=4t e z=3cos(t), na direção positiva. Sabendo que o comprimento de arco sobre a curva de P_0 a P_1 mede 5 unidades e considerando a equação de comprimento de arco, assinale a alternativa que indica as coordenadas do ponto P_1:

Answer 1

Dos devidos cálculos concluímos que as coordenadas que representam o ponto $P_1$ são iguais a $(3\sin{(1)}, 4,3 \cos{(1 )})$

O comprimento do arco, também chamado de retidão de uma curva, é a medida da distância ou caminho percorrido ao longo de uma curva ou dimensão linear. A chegada do cálculo trouxe consigo a fórmula geral para obter soluções fechadas para alguns casos.

No caso de uma curva definida parametricamente por três funções dependentes de t como ${\displaystyle x=f\left(t\right), y=g\left(t\right)}$ e $z=h\left(t\right)$, o comprimento do arco a partir do ponto ${\displaystyle (f(a),g(a),h(a))\,}$ para apontar ${\displaystyle (f(b),g(b)),h(b)\,}$ é calculado por:

$\boxed{ \displaystyle \bf S =\int^b _a\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+ \left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2} dt}$

Sabemos que a superfície do arco de $P_0$ a $P_1$ é igual a 5 unidades, sendo os limites de integração iguais aos pontos $P_0$ e [tex ]P_1[/tex], então substituindo o valor de cada ponto e o valor numérico da superfície S obtemos a expressão:

$\displaystyle 5=\int^t _0\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+ \left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2} dt$

Calculando as derivadas em relação a t das equações que reescrevem as variáveis x, y e z:

$\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}= 3\sin{(t)}\\ \\ \dfrac{dy}{dt}= 4t\\\\ \dfrac{dz}{dt}=3 \cos{(t)}\end{cases} \quad \begin{cases}\dfrac{dx}{dt}= 3\cos{(t)} \\\\ \dfrac{dy}{dt}= 4\\ \\\dfrac{dz}{dt}=-3 \sin{(t)}\end{cases}$

Substituindo esses valores em nossa expressão podemos ver que a superfície do arco é calculada pela expressão:

$\displaystyle 5=\int^t _0\sqrt{\left(3\cos{(t)}\right)^2 +\left(4\right)^2+ \left(-3 \sin{(t)}\right)^2} dt\\\\\\ \displaystyle 5=\int^t _0\sqrt{9\cos^2{(t)}+16+ 9 \sin^2{(t)}}dt$

Essa integral é um pouco complexa, pois temos várias funções trigonométricas, o que faremos é simplificar essa integral usando algumas das identidades trigonométricas já existentes.

Uma dessas identidades trigonométricas é: $\boxed{\bf sin^2(x)+cos^2(x)=1}$

Vamos tentar juntar o seno e o cosseno, para isso vamos trocar de lugar da seguinte forma:

$\displaystyle 5=\int^t _0\sqrt{16+9\cos^2{(t)}+ 9 \sin^2{(t)}}dt$

Extraindo o fator comum e simplificado:

$\displaystyle 5=\int^t _0\sqrt{16+9\left(\cos^2{(t)}+9 \sin^2{(t)}\right)}dt\\\\\\\displaystyle 5=\int^t _0\sqrt{16+9}dt \\\\\\ 5=\int^t _0\sqrt{25}dt\\\\\\ \displaystyle 5=\int^t_05dt$

Aplicamos a seguinte propriedade: $\boxed{\bf \int c dx =cx}$

Agora vamos lembrar que para resolver ou calcular uma integral definida, a integral é calculada sem levar em conta os limites de integração. Em seguida, avalia-se o resultado da integral, subtraindo-se o valor obtido pela substituição do limite inferior de integração daquele obtido pela substituição do limite superior de integração.

$5= \left(5\cdot t\right)-\left(5\cdot 0\right)\\\\\\ 5=5t\\\\\\ 1=t$

Para encontrar as coordenadas do ponto P_1 basta substituir o segundo valor de t nas equações que descrevem x,y e z:

$P_1=(3\sin{(1)},4\cdot 1,3\cos{(1)})\\\\\\ \boxed{\bf P_1=(3\sin{(1)},4,3\cos{(1)})}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta}$