Question

Suponha que haja a probabilidade de 0,6 de um carro furtado em certa cidade do sul ser recuperado. Então a probabilidade de no máximo três dentre dez carros furtados serem recuperados.

Answer 1

A probabilidade de no máximo três dentre dez carros furtados serem recuperados é, aproximadamente, 5,5%.

A probabilidade do carro ser recuperado em um máximo de três vezes será a soma das probabilidades entre ele não ser recuperado, ser recuperado uma vez, ser recuperado duas vezes e ser recuperado três vezes.

A probabilidade dele não ser recuperado será o valor complementar a probabilidade dele ser recuperado elevado aos 10 casos.

$P_0=0,4^{10}$

A probabilidade dele ser recuperado uma vez será o produto entre o valor fornecido e o complementar elevado a 9. Note que ele pode ser recuperado em qualquer um dos 10 roubos, então devemos calcular a combinação entre esses valores. Assim:

$P_1=\frac{10!}{9!1!} \times 0,6\times 0,4^9$

De maneira análoga, vamos calcular as outras duas probabilidades:

$P_2=\frac{10!}{8!2!} \times 0,6^2\times 0,4^8 \\ \\ P_3=\frac{10!}{7!3!} \times 0,6^3\times 0,4^7$

Por fim, a probabilidade de no máximo três dentre dez carros furtados serem recuperados será a soma dessas probabilidades. Portanto:

$P=P_0+P_1+P_2+P_3\approx 0,055=5,5\%$