Question

Suponha que existem 35 maneiras distintas de se comprar 3 refrigerantes em uma loja, em que há n tipos de refrigerantes disponíveis. Além disso, se for acrescentado mais um novo tipo de refrigerante, então existem 56 maneiras de serem adquiridos esses 3 refrigerantes. Nessas condições, determine o valor de n. Sugestão: Assuma que podem ser comprados refrigerantes repetindo-se um mesmo tipo.

Answer 1

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A resposta é $\mathsf{n=5},$ e a listagem com as 35 possibilidades de escolha estão no arquivo em anexo.

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Em uma loja, há $\mathsf{n}$ opções de tipos de refrigerante disponíveis.

O número total de maneiras que temos de se escolher 3 destes tipos, sendo permitida a escolha repetida de sabores, é dado pelo cálculo das combinações com repetição de $\mathsf{n}$ elementos, tomados em grupos de 3:

$\mathsf{Cr_{n,\,3}}\\\\\\ =\mathsf{\dbinom{n+3-1}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dbinom{n+2}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(n+2)!}{3!\cdot (n+2-3)!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!}}$

$=\mathsf{\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}{3!\cdot (n-1)!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n}{3\cdot 2\cdot 1}}\qquad\quad\checkmark$


e esta expressão deve ser igual a 35:

$\mathsf{Cr_{n,\,3}=35}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n}{3\cdot 2\cdot 1}=35}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n}{6}=35}\\\\\\ \mathsf{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n=6\cdot 35}\\\\ \mathsf{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n=210\qquad\quad(i)}$

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Adicionando um novo tipo de refrigerante, o número de maneiras de se escolher 3 refrigerantes sobe para 56.


Neste novo cenário, devemos ter

$\mathsf{Cr_{(n+1),\,3}=56}\\\\\\ \mathsf{\dbinom{(n+1)+3-1}{3}=56}\\\\\\ \mathsf{\dbinom{n+3}{3}=56}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(n+3)!}{3!\cdot (n+3-3)!}=56}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)\cdot \diagup\!\!\!\!\! n!}{3!\cdot \diagup\!\!\!\!\! n!}=56}$

$\mathsf{\dfrac{(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)}{3\cdot 2\cdot 1}=56}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)}{6}=56}\\\\\\ \mathsf{(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)=6\cdot 56}\\\\ \mathsf{(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)=336\qquad\quad(ii)}$


Dividindo as equações $\mathsf{(i)}$ por $\mathsf{(ii)}$ membro a membro, obtemos

$\mathsf{\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n}{(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)}=\dfrac{210}{336}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n}{n+3}=\dfrac{210}{336}\begin{array}{c}^{\mathsf{\div 42}}\\^{\mathsf{\div 42}} \end{array}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n}{n+3}=\dfrac{5}{8}}$

$\mathsf{8n=5(n+3)}\\\\ \mathsf{8n=5n+15}\\\\ \mathsf{8n-5n=15}\\\\ \mathsf{3n=15}\\\\ \mathsf{n=\dfrac{15}{3}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{n=5} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Nesta loja, há 5 tipos diferentes de refrigerante.


Bons estudos! :-)


Tags:   combinações com repetição análise combinatória