Question

Suponha que as retas r1 e r2 se interceptam, que
r1 passa pelos pontos A(1,4) e B(-1,-2),
r2 passa pelos pontos C(1, -3) e D(-1,1).

O ângulo agudo formado entre elas é de?

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ângulo procurado é:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta = 45^{\circ}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos pertencentes as retas:

                     $\Large\begin{cases} r_{1}: \Large\begin{cases} A(1, 4)\\B(-1, -2)\end{cases}\\\\r_{2}: \Large\begin{cases} C(1, -3)\\D(-1, 1)\end{cases}\end{cases}$

Quando estamos procurando a medida do ângulo entre as retas, na realidade estamos procurando o menor ângulo entre as retas e, para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \theta = \arctan \bigg(\bigg|\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}\cdot m_{2}}\bigg|\bigg), \:\:\:\textrm{com}\:0 < \theta < 90^{\circ}\end{gathered} }$

Para resolver esta questão devemos:

• Calcular o coeficiente angular de "ri", ou seja:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} m_{1} = \frac{Y_{B} - Y_{A}}{X_{B} - X_{A}} = \frac{-2 -4}{-1 - 1} = \frac{-6}{-2} = 3\end{gathered} }$

• Calcular o coeficiente angular de "r2", ou seja:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} m_{2} = \frac{Y_{D} - Y_{C}}{X_{D} - X_{C}} = \frac{1 - (-3)}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2\end{gathered} }$

• Substituindo os valores dos coeficientes angulares na equação "I", temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \arctan \bigg(\bigg|\frac{3 -(-2)}{1 + 3\cdot(-2)}\bigg|\bigg)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan \bigg(\bigg|\frac{5}{1 - 6}\bigg|\bigg)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan \bigg(\bigg|\frac{5}{-5}\bigg|\bigg)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan \bigg(\frac{5}{5}\bigg)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arctan (1)\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 45^{\circ}\end{gathered}$

✅Portanto, o ângulo procurado é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = 45^{\circ}\end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/52000661
2. https://brainly.com.br/tarefa/227145

Veja a solução gráfica da questão representada na figura: