Question

Suponha que as idades de certo grupo de estudantes seguem uma distribuição normal. Sabendo que 82% dos estudantes têm menos de 27 anos e que 70% têm idade superior a 22 anos, determine a proporção de estudantes com idade acima de 24 anos.

Answer 1

A proporção de estudantes com idade acima de 24 anos é de 75,5%.

Em uma distribuição normal, temos que a proporção está relacionada com z, dado pela seguinte equação:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

onde x é o valor a ser testado, μ é a média populacional e σ é o desvio-padrão da população.

Nesse caso, a proporção de alunos com idade menor que 27 anos é de 82% e a proporção de alunos com idade superior a 22 anos é de 70%. Assim, se olharmos em uma tabela normal isso corresponde a, respectivamente, z = 0,925 e z = 0,535. Portanto, substituindo na equação de z, obteremos o sistema:

(1) $0,925 = \frac{27 - \mu}{\sigma}$

(2) $0,535 = \frac{22 - \mu}{\sigma}$

Da primeira equação, tiramos que $\sigma = \frac{27 - \mu}{0,925}$. Logo, substituindo na segunda, teremos:

$0,535 = \frac{22 - \mu}{\frac{27 - \mu}{0,925}}$

$\frac{0,535}{0,925} = \frac{22 - \mu}{27 - \mu}$

$0,5784.(27 - \mu) = 22 - \mu$

$15,62 - 0,5784 \mu = 22 - \mu$

$\mu - 0,5784 \mu = 22 - 15,62$

$\mu = 15,14$ ∴ $\sigma = 12,82$

Assim, usando os valores encontrados e x agora igual a 24 anos, teremos:

$z = \frac{24 - 15,14}{12,82}$  = 0,69

Ao procurarmos na tabela, veremos que esse z corresponde a 75,50%, aproximadamente.

Espero ter ajudado!