Question

Suponha que a velocidade de uma gota de chuva em queda ́e dada, em fun ̧c ̃ao do
tempo, por:

v(t) = v∗(1 − e^(−(g/v)∗ t)),

onde v∗, a velocidade terminal da gota, ́e uma constante positiva e g, a acelera ̧c ̃ao da gravidade,
tamb ́em ́e uma constante positiva.
(a) Calcule limt→∞ v(t).
(b) Quanto tempo demora para que essa gota de chuva atinja 99% da sua velocidade
terminal? (Sua resposta, provavelmente, deve ficar em termos das constantes v
∗
e g.)

Answer 1

A velocidade da gota nunca ultrapassará o valor da velocidade terminal, não importa quanto tempo passe.

A velocidade da gota é dada pela fórmula:

$v(t) = v*(1 - e^{gt/v})}$

a) Quando t tende ao infinito, a fração gt/v também tende ao infinito, logo ficamos com:

$\lim_{t \to \infty} v(t) = v*(1 - e^{-\infty})$

Anexei o gráfico da função $f(x) = e^x$ para que possamos visualizar melhor. Quando os valores de x tendem a -∞ vemos que a função f(x) tende a 0, logo:

$\lim_{t \to \infty} v(t) = v*(1 - e^{-\infty}) = v*(1 - 0) = v$

Isso quer dizer que, se a gota cair por um tempo infinito, ela sempre terá sua velocidade limitada ao valor de v, nunca será maior que isso.

b) Para que v(t) = 99% de v = 0,99v, teremos que:

$v(t) = 0,99*v = v*(1 - e^{gt/v})}\\\\0,99 = 1 - e^{gt/v}\\\\e^{gt/v} = 1-0,99 = 0,01$

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:

$lne^{gt/v} = ln(0,01)\\\\\frac{gt}{v} = ln(0,01)\\\\t = \frac{v*ln(0,01)}{g}$

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