Question

Suponha que a função diferenciável z = f(x, y) é definida implicitamente pela equação

x ^ 3 * y ^ 2 + x ^ 3 * z + z ^ 3 = 1

Assinale a alternativa correta:

Escolha uma opção:

a. partial z partial x = -x^ 2 -z^ 2 x^ 2 y^ 2

partial z partial y = -2x^ 3 y 3z^ 2

partial z partial x =3x^ 2 y^ 2 +3x^ 2 z

5, partial z partial y = x^ 3 +3z^ 2 2x^ 3 y

2, partial z partial z = -3x^ 2 (y^ 2 +z) x^ 3 +3z^ 2

Answer 1

Utilizando derivação, temos que, a alternativa correta é:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = - \dfrac{3x^2 y^2 + 3x^2 z}{x^3 + 3z^2}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = - \dfrac{2x^3 y + 3x^2 z}{x^3 + 3z^2}$

Derivada parcial em relação a x

Para calcular a derivada parcial em relação a variável x, trataremos y como constante e utilizaremos a regra da derivação implícita:

$x^3 y^2 + x^3 z+ z^3 = 1$

$3x^2 y^2 + 3x^2 z + x^3 \dfrac{\partial z}{\partial x} + 3z^2 \dfrac{\partial z}{\partial x} = 0$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = - \dfrac{3x^2 y^2 + 3x^2 z}{x^3 + 3z^2}$

Observe que utilizamos a regra da cadeia para derivar a parte da função que depende da variável z, pois esta é vista como uma função nas variáveis dependentes x e y.

Derivada parcial em relação a y

Para encontrar a derivada parcial em relação a variável y, devemos manter constante a variável x e derivar em relação a y. Dessa forma, temos o resultado:

$2 x^3 y + 3x^2 z + x^3 \dfrac{\partial z}{\partial y} + 3z^2 \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = - \dfrac{2x^3 y + 3x^2 z}{x^3 + 3z^2}$

Para mais informações sobre derivada, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48098014

#SPJ1