Question

Suponha que a equação de demanda de um serviço seja p = x
2
/3 – 6x, onde x é o número de unidades de
serviços resolvidos semanalmente e p reais é o preço de cada serviço. O número do custo total da execução de
x unidades do serviço é 1000 – 35x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, qual o número de unidades
do serviço que serão produzidas por semana, para obter o lucro máximo?

Answer 1

Utilizando derivação e pontos críticos, temos que o número de serviços para lucro maximo é de 5 serviços.

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente montar a função receita que é o preço vezes a quantidade de serviços feita:

$R(x)=p.x$

$R(x)=(\frac{x^2}{3}-6x).x$

$R(x)=\frac{x^3}{3}-6x^2$

E já temos a função custo:

$C(x)=1000-35x$

E como sabemos que lucro é Receita menos o Custo:

$L(x)=R(x)-C(x)$

$L(x)=\frac{x^3}{3}-6x^2-1000+35x$

$L(x)=\frac{x^3}{3}-6x^2+35x-1000$

Se queremos o lucro maximo, então teremos que derivar esta função lucro e igualar a 0 para encontrarmos os pontos criticos:

$L(x)=\frac{x^3}{3}-6x^2+35x-1000$

$L'(x)=x^2-12x+35$

$0=x^2-12x+35$

Resolvendo esta equação do segundo grau por soma e produto vemos facilmente que as raízes são x=5 e x=7. Agora temos que verificar qual deles é maximo e qual é minimo, para isto basta verificar a derivada, que é um função do segundo grau do formato de parabola para cima.

Antes do x=5 a parabola é positiva e depois é negativa, logo, antes ela cresce e depois ela descresce, logo x=5 é ponto maximo.

O que nos deixa por eliminação com x=7 sendo minimo.

Sendo assim temos que o número de serviços para lucro maximo é de 5 serviços.