Question

Suponha que a aceleração de um objeto no instante T seja dada pela função a (t) = sen²(PI.t)cos²(PI.t) . Determine a velocidade v(t) desse objeto em
função de t.

Answer 1

Olá, Bruno.

Como a aceleração é a derivada da velocidade, então a velocidade é a integral da aceleração.

cos 2x = cos²x - sen²x ⇒ cos 2x = cos²x - (1 - cos²x) ⇒
cos 2x = cos²x - 1 + cos²x ⇒ 1 + cos 2x = 2cos²x ⇒
$\cos\²x=\frac12+\frac12\cos2x$

Assim: 

cos²x · sen²x = cos²x · (1-cos²x) = cos²x - cos⁴x =
$=\frac12+\frac12 \cos2x - (\frac12+\frac12\cos2x)\²=\\\\ =\frac12+\frac12\cos2x-\frac14-\frac12\cos2x -\frac14\cos\²(2x)=\\\\ = \frac14-\frac14\cos\²(2x)=\frac14-\frac14\cdot(\frac12+\frac12\cos4x)=\\\\ =\frac14-\frac18-\frac18\cos4x=\frac18-\frac18\cos4x$

Portanto: 

$\int \cos\²x \cdot \text{sen}\²x = \frac18 \int 1 - \cos4x\,dx =\\\\= \frac18 (x - \frac14\text{sen}\,4x)\Rightarrow\\\\ \boxed{v(t) = \frac x8 - \frac1{32}\cdot\text{sen}\,4x}$