Question

Suponha que 2^x+ 2 ^ -x =m. Deste modo 8 ^ x + 8 ^ -x

tem valor:

Answer 1

 8 ^ x + 8 ^ -x

 (2^3)^x + (2^3)^-x
  (2^x + 2^-x)^3 =m^3

2^3x +3.2^2x.2^-x + 3.2^x.2^-2x + 2^-3x = m^3
2^3x + 2^-3x + 3(.2^x + 2^-x )= m^3
2^3x + 2^-3x + 3.m = m^3

2^3x + 2^-3x = m^3 - 3m
   ou
 8^x + 8^-x = m^3 - 3m

Answer 2

Resposta:

como a questão não deixa claro o valor de m, a reposta deve ser valida para quaisquer valores de m

supondo m=2:

2^x+ 2 ^ -x = 2^x + 1/(2^x) = ( (2^x)^2 + 1 )/(2^x) = 2

∴(2^x)^2 + 1 = 2 . 2^x = 2^(x+1)

∴1 = 2^(x+1) - 2^(2x)          <---- (vou deixar essa parte explicada no final pq vc pode ter visto de cara que nesse caso x=0)

∴ x=0

substituindo na outra equação:

8 ^ x + 8 ^ -x = 8^0 + 1/(8^0) = 1 + 1 = 2

-->isso NÃO significa que 8 ^ x + 8 ^ -x = m será SEMPRE uma verdade<--

explicação de como achar x=0:

1 = 2^(x+1) - 2^(2x) = 2^x . 2 - (2^x)^2

usando 2^x = a, e substituindo na equação temos:

a.2 - a^2 = 1

∴ - a^2 + 2a - 1= 0

-> resolvendo pela Formula de Bhaskara, temos que:

Δ = 2^2 - 4 . (-1) . (-1) = 4-4 = 0 (ou seja, só exite um possivel valor de a)

a = (-2 ±$\sqrt{0}$)/(2.(-1)) = (-2)/(-2) = 1

substituindo o valor de a:

2^x = 1  

∴ x=0

Obs: se por acaso essa for uma questão fechada com resposta em função de m,  voce deve substiuir m=2 nas alternativas e a alternativa correta será aquela que que o resultado der 2. ex: m^3 - 3m

Obs2: o outro gabarito ja postado estava correto, porém não tenho certeza quanto à resolução.