Question

Suponha f contínua em [1,5] e que as únicas soluções da equação f(x)=6 sejam x=1 e x=4. Se f(2)=8, explique por que f(3)>6.

Answer 1

Começaremos a resolução relembrando um teorema essencial para resolver a questão.

Teorema: (Teorema do valor intermediário)

Seja f(x) uma função contínua num intervalo I e a, b ∈ I, então, pra todo y ∈ [f(a), f(b)] existe pelo menos um valor de x ∈ [a, b] tal que

$f(x) = y$

O teorema simplesmente diz que, uma função contínua partindo de um valor para outro, deve passar por todos os valores entre estes dois pelo menos uma vez.

Relembrado o teorema vamos ao exercício.

Suponha, por absurdo que f(3) = k < 6 (a igualdade é contraditória por si só, já que 3 é dito que não é solução para f(x) = 6.), deste modo, aplicando o teorema do valor intermediário para o intervalo [2, 3].

Para todo y no intervalo [k, 8], existe pelo menos um x tal que

$f(x) \in [k,\, 8]$

Perceba que 6 pertence à este mesmo intervalo, então em especial, existe pelo menos um x entre 2 e 3 tal que

$f(x) = 6$

Contradição, uma vez que a função assume valor 6 somente para x = 1 e x = 4. Portanto, nossa suposição estava errada e

$f(3) > 6$

Q.E.D.