Question

Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada, sem tampa, com 1 m³ de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material na sua confecção. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa).

A Lados iguais e com dimensão de 0,93m

B Lados iguais e com dimensão de 0,83m

C Lados iguais e com dimensão de 0,73m

D Lados iguais e com dimensão de 0,63m​

Answer 1

Resposta:

D – Lados iguais e com dimensão de 0,63 m.

Explicação passo a passo:

A caixa a ser confeccionada terá uma base quadrada, de lado $l$, e uma altura $h.$

Sabemos que seu volume é 1 m³. Temos:

$V = l^2 \cdot h = 1\\\\\Longleftrightarrow h = \frac{\big{1}}{\big{l^2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

A área de superfície da caixa é a soma da área da base com a área das quatro faces verticais:

$A_s = l^2 + 4lh\\\\\Longleftrightarrow A_s = l^2 + 4 \cdot l \cdot \frac{\big{1}}{\big{l^2}}\\\\\Longleftrightarrow A_s = l^2 + \frac{\big{4}}{\big{l}}$

Para que se utilize o mínimo de material na sua confecção, a área de sua superfície deve ser mínima:

$\frac{\big{d\,A_s}}{d\, l} = 0\\\\\Longleftrightarrow 2l -\frac{\big{4}}{\big{l^2}} = 0\\\\\Longleftrightarrow \frac{\big{2l^3-4}}{\big{l^2}} = 0\\\\\Longleftrightarrow 2l^3 - 4 = 0\\\\\Longleftrightarrow 2l^3 = 4\\\\\Longleftrightarrow l^3 = 2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{l = \sqrt[3]{2} \approx 1,26\,\,m.}$

Substituindo o valor de $l$ na eq. $(I)$, fica:

$h = \frac{\big{1}}{\big{1,26^2}}\\\\\Longleftrightarrow h = \frac{\big{1}}{\big{1,59}}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{h = 0,63\,\,m.}$

Portanto, as dimensões da caixa de 1 m³ que minimizam a área de superfície são as seguintes:

lado da base = 1,26 m;

altura = 0,63 m.