Suponha 50 fichas numeradas foram organizadas de modo que, com exceção da primeira e da última, as demais fichas teriam seu valor igual a média aritmética entre o valor da ficha anterior e da ficha posterior. Se a décima ficha da sequência tem seu valor igual a 30, e a vigésima quinta ficha tem seu valor igual a 45, determine o valor da última ficha dessa sequência.
Soluções para a tarefa
Resposta:
70
Explicação passo-a-passo:
Nessa questão, temos uma sequência (a₁, a₂, ..., a₅₀), de forma que, o termo geral da sequência é dado por: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2, para n = 2, 3, ..., 49.
Sendo assim, temos uma recorrência da seguinte forma:
aₙ₊₁ - 2aₙ + aₙ₋₁ = 0, para n = 2, 3, ..., 49
Isso define uma progressão aritmética, pois essa recorrência pode ser reescrita da forma:
(aₙ₊₁ - aₙ) - (aₙ - aₙ₋₁) = 0 ⇒ aₙ₊₁ - aₙ = aₙ - aₙ₋₁
O que significa que a diferença entre dois termos consecutivos da sequência é sempre igual. No caso, essa diferença é o que chamamos de razão da progressão aritmética. Sabemos que o termo geral de uma progressão aritmética pode ser escrito da forma:
aₙ = a₁ + (n - 1)r
A questão já nos deu os valores de a₁₀ e de a₂₅. Substituindo na expressão do termo geral, obtemos:
(i) a₁₀ = a₁ + (10 - 1)r = 30 ⇒ a₁ + 9r = 30
(ii) a₂₅ = a₁ + (25 - 1)r = 45 ⇒ a₁ + 24r = 45
Subtraindo a equação (i) da equação (ii), obtemos:
15r = 15 ⇒ r = 1
Substituindo de volta na equação (i), encontramos:
a₁ + 9 = 30 ⇒ a₁ = 21
Portanto, o termo geral da sequência é dado por:
aₙ = 21 + (n - 1)×1 ⇒ aₙ = 20 + n
A última ficha é a ficha de número 50, portanto seu valor é
a₅₀ = 20 + 50 ⇒ a₅₀ = 70