Question

Supondo que x, y e b são números reais positivos, com b ≠ 1, e sabendo que logb (x) = 2 e logb (y) = 3, qual é o valor de:
A)
$log_{b}(x^{2}y^{3})$
B)
$log_{b}( \frac{ \sqrt[4]{x} }{by} )$

Answer 1

o primeiro log é bem simples, é só aplicar a propriedade do produto dos logaritimos. já o segundo long envolve propriedade da raiz, do expoente no logaritimando, da diferença e do produto. só isso

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Arthur, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: supondo que "x", "y" e "b" são números reais positivos, com b ≠ 1, e sabendo-se que logᵦ (x) = 2 e logᵦ (y) = 3, então determine o valor das seguintes expressões (que vamos chamar, cada uma, de um certo "k", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa):

a) k = logᵦ (x²y³) ----- transformando o produto em soma (é uma propriedade logarítmica), teremos:

k = logᵦ (x²) + logᵦ (y³) ---- passando os expoentes multiplicando os respectivos logs (também é uma propriedade logarítmica), teremos:

k = 2logᵦ (x) + 3logᵦ (y) --- substituindo-se logᵦ (x) por "2" e logᵦ (y) por "3", iremos ficar com:

k = 2*2 + 3*3 ----- desenvolvendo esses produtos, temos:

k = 4 + 9

k = 13 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) k = logᵦ [⁴√(x) / by] ---- note que ⁴√(x) é a mesma coisa que x¹/⁴ . Assim, substituindo teremos:

k = logᵦ [x¹/⁴ / by] ----- transformando a divisão em subtração (também é uma propriedade logarítmica), teremos:

k = logᵦ (x¹/⁴) - logᵦ (by) ---- vamos transformar o produto em soma, ficando:

k = logᵦ (x¹/⁴) - [logᵦ (b) + logᵦ (y)] ---- passando o expoente "1/4" multiplicando o respectivo log, teremos:

k = (1/4)*logᵦ (x) - [logᵦ (b) + logᵦ (y)] ---- substituindo-se logᵦ (x) por "2"; substituindo-se logᵦ (y) por "3" e, finalmente, substituindo-se logᵦ (b) por "1" (pois quando o logaritmando é igual à base o logaritmo sempre é igual a "1"), teremos:

k = (1/4)*2 - [1 + 3] ----- ou apenas:

k = 1*2/4 - (1+3) ------ desenvolvendo, teremos:

k = 2/4 - (4) --- retirando-se os parênteses, temos:

k = 2/4 - 4 ------- simplificando-se numerador e denominador da fração "2/4" por "2" iremos ficar com "1/2". Então:

k = 1/2 - 4 ----- mmc = 2. Assim, utilizando-o teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

k = (1*1 - 2*4)/2 ----- desenvolvendo, temos:

k = (1 - 8)/2 ----- como "1-8 = -7", teremos:

k = - 7/2 <--- Esta é a resposta para o item "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.