Question

Supondo que a taxa de crescimento de uma população seja proporcional à própria população, ou seja dP/dt=k.p, em que: P é a população em um instante qualquer, t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade. Em 1º de maio de 2001 (t=0), a população de uma determinada cidade era de 456.985 habitantes. Em 1º de maio de 2015, a população era de 508.050 habitantes. Supondo que a taxa de crescimento tenha se mantido conforme a lei descrita, qual o mês e o ano em que a população dessa cidade foi de 497.670 habitantes?
a) maio de 2010
b) dezembro de 2019
c) agosto de 2018
d) julho de 2012
e) setembro de 2011

Answer 1

Resposta: O mês e ano em que a população dessa cidade é igual a 467.670 é igual a maio de 2010.

Neste caso sabemos que a taxa de crescimento de uma provação é proporcional à própria provação, ou seja:

$\sf \dfrac{dP}{dt} = k P$

A equação que representa a taxa de crescimento de uma população pode ser conhecida como equação diferencial, onde dP/dt é a taxa de crescimento, P é a população, t é o tempo e k é uma constante de proporcionalidade.

Lembre-se de que uma equação diferencial é uma equação matemática que relaciona uma função com suas derivadas. Na matemática aplicada, as funções geralmente representam quantidades físicas, as derivadas representam suas taxas de variação e as equações definem a relação entre elas. A solução desta equação diferencial implica a função de crescimento desta população.

Observe que a equação diferencial pode ser separável como a equação diferencial é de variáveis separáveis, o que faremos é juntar sua respectiva variável com sua respectiva diferencial.

$\dfrac{dP}{dt} = k P\\\\\\ dP= k P dt\\\\\\ \dfrac{dP}{P}= k dt$

Uma vez que as variáveis são separadas, vamos tentar aplicar a integral indefinida em ambas as partes da equação diferencial:

$\displaystyle \int \dfrac{dP}{P}=\int k dt\\\\\\ \displaystyle \int \dfrac{1}{P} dP=k\int dt\\\\\\ \displaystyle \ln{ P(t)}+C_1= kt+C_2\\\\\\ \ln{P(t)}= kt + C\\\\\\ e^{\ln{P(t)}} = e^{kt+C}\\\\\\ P(t)= e^{kt+C}$

Aplicando nossas condições iniciais para poder encontrar o valor de nossa constante proporcional k e nossa constante de integração C. Sabemos que em 1º de maio de 2001 (t=0) a população de uma dada cidade era igual a 456.985 habitantes, então substituindo P(t) por 456.985 e t por 0 obtemos:

$456.985= e^{k\cdot 0+C}\\\\\\ 456.985 = e^C\\\\\\ Aplicando ~o~ logaritmo ~natural ~em~ ambas ~as ~partes ~da ~equac_{\!\!,}\tilde{a}o: \\\\\\ \ln{456,985}= \ln{e^C}\\\\\\ 13,03\approx C$

Agora calculamos o valor da constante de proporcionalidade k em nossa função exponencial, calcular a constante k será ainda mais fácil quando soubermos o valor da constante de integração C. Sabemos que em 1º de maio de 2015, a população era de 508.050 habitantes (14 anos depois), substituindo t por 14 e P(t) por 508.050, obtemos:

$508.050= e^{14 k+13,03}\\\\\\ \ln{508.050} = \ln{e^{14k+13,03}} \\\\\\ 13,14\approx 14 k+13,03\\\\\\ 0,11\approx14 k\\\\\\ 0,0078\approx k\\\\\\ 0,01\cong k$

Encontrando o ano e o mês para que a população da cidade seja igual a 497.670:

$497.670= e^{0,01 t+ 13,03}\\\\\\ \ln{497.670} = \ln{e^{0,01 t+ 13,03}} \\\\\\ 13.12 \approx 0{,}01 t + 13,03\\\\\\ 0,09\approx 0,01 t\\\\\\ \boxed{9~anos\approx t} \quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta }$

Para que haja uma população de 467.670 habitantes, são necessários 9 anos e, como nosso modelo de crescimento começou no início de 1º maio de 2001, nove anos depois seria 1º de maio de 2010.

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