Question

Supondo A, B e C matrizes inversíveis, determine X em cada questão:

a) AXB = C

b) AB = CX

c) (AX) ^-1 B = BC

Answer 1

Para fins de notação, vamos assumir que $Y^{-1}$ representa a inversa da matriz $Y$. Além disso, para resolvermos os itens dados, vamos usar a propriedade que é definição de matriz inversa, qual seja:

$\boxed{Y^{-1}Y=YY^{-1}=I}$

Onde $I$ é a matriz identidade da mesma ordem de $Y$.

Lembremos também que $I$ é o elemento neutro da multiplicação matricial, então:

$\boxed{YI=IY=Y}$

Resolvendo cada um dos itens:

a) $AXB=C$

Multiplicando os dois lados da equação por $A^{-1}$ à esquerda:

$A^{-1}AXB=A^{-1}C$

Como vale a propriedade associativa no produto de matrizes:

$(A^{-1}A)XB=A^{-1}C\\\\ IXB=A^{-1}C\\\\ XB=A^{-1}C$

Multiplicando os dois lados da última equação obtida por $B^{-1}$ à direita:

$XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\\\\ X(BB^{-1})=A^{-1}CB^{-1}\\\\ XI=A^{-1}CB^{-1}\\\\ \boxed{\boxed{X=A^{-1}CB^{-1}}}$

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b) $AB=CX$

Multiplicando os dois lados da equação por $C^{-1}$ à esquerda:

$C^{-1}AB=C^{-1}CX\\\\ C^{-1}AB=(C^{-1}C)X\\\\ C^{-1}AB=IX\\\\ \boxed{\boxed{X=C^{-1}AB}}$

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c) $(AX)^{-1}B=BC$

Multiplicando os dois lados da equação por $AX$ à esquerda:

$(AX)(AX)^{-1}B=(AX)BC\\\\ \!\,[(AX)(AX)^{-1}]B=AXBC\\\\ IB=AXBC\\\\ AXBC=B$

Multiplicando por $A^{-1}$ à esquerda:

$A^{-1}AXBC=A^{-1}B\\\\ (A^{-1}A)XBC=A^{-1}B\\\\ IXBC=A^{-1}B\\\\ XBC=A^{-1}B$

Multiplicando por $C^{-1}$ à direita:

$XBCC^{-1}=A^{-1}BC^{-1}\\\\ XB(CC^{-1})=A^{-1}BC^{-1}\\\\ XBI=A^{-1}BC^{-1}\\\\ XB=A^{-1}BC^{-1}$

Por fim, multiplicando por $B^{-1}$ à direita:

$XBB^{-1}=A^{-1}BC^{-1}B^{-1}\\\\ X(BB^{-1})=A^{-1}BC^{-1}B^{-1}\\\\ XI=A^{-1}BC^{-1}B^{-1}\\\\ \boxed{\boxed{X=A^{-1}BC^{-1}B^{-1}}}$