Question

sucessões enquadradas de limites:

Responda detalhamente:

$\[\lim_{n\rightarrow \infty} \Bigg(\mathsf{\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+...+\dfrac{1}{(2n)^2}} \Bigg) \]$

Agradeço antecipadamente!)​

Answer 1

Resposta:

$\lim \displaystyle\sum^{n}_{k ~ = ~1} \dfrac{1}{(n+ k)^2} = 0$

Explicação passo-a-passo:

Caro @marcelo, observe que a soma descrita no enunciado pode também ser escrita assim,

$\displaystyle\sum^{n}_{k \: = \: 1} \dfrac{1}{(n+ k)^2} = \dfrac{1}{(n +1)^2} + \dfrac{1}{(n + 2)^2} + \dots + \dfrac{1}{(2n)^2}$

Portanto, fazendo n tendendo para o infinito, estaremos obtendo cada vez mais termos para somar, entretanto os valores desses termos tornam-se cada vez mais menores, observe que estamos somando n cujo o valor absoluto é sucessivamente menor temos:

$\displaystyle\sum^{n}_{k \: = \: 1} \dfrac{1}{(n+ k)^2} \leqslant \dfrac{n}{(n+ 1)^2}$

Observe também que,

$\displaystyle\sum^{n}_{k \: = \: 1} \dfrac{1}{(n+ k)^2} \geqslant \dfrac{n}{4n^2}$

Deste modo, concluímos o seguinte:

$\dfrac{n}{4n^2} \leqslant \green{\displaystyle\sum^{n}_{k \: = \: 1} \dfrac{1}{(n+ k)^2}} \leqslant \dfrac{n}{(n+ 1)^2}$

Portanto, note que:

$\lim \dfrac{n}{4n^2} = \lim \dfrac{n}{(n + 1)^2} = 0$

Deste modo, teremos que,

$\lim \displaystyle\sum^{n}_{k \: = \: 1} \dfrac{1}{(n+ k)^2} = 0$

(Observe que não é necessário colocar a tendência, uma vez que trata-se do limite de uma sucessão)

Espero ter colaborado!)