Question

somando-se todos os ângulos internos de três polígonos convexos obtém-se 2160 graus. Sabe-se que o número de lados desses polígonos é n-2, n é n+2. Determine o número de diagonais do polígono de n lados. (com conta pffffffff)

Answer 1

Vamos precisar de duas fórmulas para essa questão; uma delas define a soma dos ângulos internos de um polígono:

$S_i=(L-2) 180$

E a outra, estabelece o número de diagonais de um polígono em função da medida de seu lado n:

$d=\frac{L (L-3)}{2}$

Primeiro, vamos achar o Si de cada polígono:

Polígono I

$S_i'=(n-2-2) 180$

$S_i'=(n-4) 180$

$S_i'=180n-720$

Polígono II

$S_i''=(n-2) 180$

$S_i''= 180n-360$

Polígono III

$S_i'''=(n+2-2) 180$

$S_i'''=(n)180$

$S_i'''=180n$

Dessa forma, Si' + Si'' + Si''' = 2160:

180n - 720 + 180n - 360 + 180n = 2160
540n - 1080 = 2160
540n = 2160 + 1080
n = 3240 ÷ 540
n = 6 lados

Com n em mãos podemos determinar quantas são suas diagonais:

$d=\frac{L (L-3)}{2}$

$d=\frac{6 (6-3)}{2}$

$d=\frac{6 \times 3}{2}$

$d=\frac{18}{2}$

$d=9$


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