Question

Somando 1 a um certo número natural, obtemos um múltiplo de 11. Subtraindo 1 desse mesmo número, obtemos um múltiplo de 8. Qual é o resto da divisão do quadrado desse número por 88?

Answer 1

Vamos chamar de "x" o número natural citado, assim temos que:

x + 1 = 11k        , para k ∈ N*
e
x - 1 = 8n          , para n ∈ N*

Assim, temos que:

x + 1 = 11k
k = (x + 1) / 11

e

x - 1 = 8n
n = (x - 1) / 8

Vamos multiplicar os números "k" e "n", assim, temos que:

k * n = ((x + 1) / 11) * ((x - 1) / 8)
kn = (x² - x + x - 1) / 88
kn = (x² - 1) / 88
kn = (x²/88) - (1/88)

Vamos isolar o valor de x²/88:

kn = (x²/88) - (1/88)
kn + 1/88 = x²/88
x²/88 = kn + 1/88

Portanto, o quadrado do número "x" dividido por 88 é igual a multiplicação de "k" e "n" mais a fração 1/88.

Como os números "k" e "n" pertencem ao conjunto dos números naturais não nulos, a multiplicação entre eles também pertencerá ao conjunto dos naturais não nulos, portanto, será um número inteiro.

Logo, o resto da divisão de "x²/88" será dado pela parte fracionário do resultado, ou seja, "1/88". Essa fração ou divisão, temo como quociente "0" e resto "1".

Portanto, a divisão de "x²" por "88" tem como resto "1".

Answer 2

O número é 153 (descobri por tentativa),
 153+1=154; 154/11=14. OK
153-1=152; 152/8=19. OK

Agora temos que multiplicar ele por ele mesmo, obtendo assim o quadrado dele: 

153x153=23409.

23409/88=266 com resto 1.

Esta questão é uma das questões da OBMEP nível 3, ela tinha como alternativa números pares e um ímpar, tendo uma boa percepção 23.409 é ímpar e 88 é par, o que nos sobra é lembrar que número par não divide número ímpar com resultado natural, mas sim com vírgula ou se torna uma dízima periódica. Com essas propriedades básicas, você mataria a questão fácil!!!