Question

Soluções de sen x = cos 2x no intervalo [0, 2π]

Answer 1

Olá Júnio.

Dada a equação:

$senx=cos(2x)$

Segundo as identidades podemos entender o cos(2x) sendo:

$cos(2x)=cos^{ 2 }x-sen^{ 2 }x$

Segundo as relações fundamentais temos que:

$sen^{ 2 }x+cos^{ 2 }x=1\\ cos^{ 2 }x=1-sen^{ 2 }x$

Agora é só substituir e resolver.

$senx=cos^{ 2 }x-sen^{ 2 }x\\ senx=1-sen^{ 2 }x-sen^{ 2 }x\\ senx=1-2sen^{ 2 }x\\ 2sen^{ 2 }x+senx-1=0$

Fazendo a mudança de variável.

$senx=y\\ \\ 2y^{ 2 }+y-1=0$

Resolvendo essa equação de segundo grau acharemos as raízes:

$y^{ I }=-1\\ y^{ II }=\frac { 1 }{ 2 }$

Fazendo a substituição:

$senx=y\\ senx=-1\\ \\ senx=\frac { 1 }{ 2 } \\ \\ \\ S=\{ 30^{ o },150^{ o },270^{ o }\}$