Question

Solucione a equação: $4^{x-1} = 2^{x} +8$

Answer 1

Temos que:

$4^{x-1}=2^{x}+8$

Observe que $4=2^2$. Assim, $4^{x-1}=(2^2)^{x-1}=2^{2x-2}$. Além disso, $2^{2x-2}=2^{x}\cdot 2^{x}\cdot2^{-2}$.

Deste modo, a equação inicial é equivalente a equação $2^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2^{-2}=2^{x}+8$.

Seja $y=2^{x}$. Assim, $y\cdot y\cdot 2^{-2}=y+8$, ou seja, $\dfrac{y^2}{4}=y+8$. 

Logo, $y^2-4y-32=0$. E obtemos $y=\dfrac{4\pm12}{2}$, isto é $y'=8$ e $y''=-4$, devemos desprezar a raiz negativa, pois $2^{x}>0$.

Portanto, $2^{x}=8$, donde, $x=3$