Question

Solucione a equação geral EDO

Answer 1

Olá

Dada a EDO 2ª Ordem

$\displaystyle \mathsf{6y''+y'-y=cos(x)}$

Solução homogênea

6k² + k - 1 = 0

Resolvendo por bhaskara

$\mathsf{K_1= \frac{1}{3} \qquad\qquad K_2=- \frac{1}{2} }$

 $\displaystyle\mathsf{Y_H~=~C_1e^{ \frac{1}{3}x }+C_2e^{- \frac{1}{2}x }}$


Solução particular

Assumindo que

$\displaystyle \mathsf{Y_P=acosx~+~bsenx}\\\\\mathsf{y'=-asenx~+~bcosx}\\\\\mathsf{y''=-acosx~-~bsenx}$

Substituindo

$\displaystyle \mathsf{6y''+y'-y=cosx}\\\\ \mathsf{6(-acosx-bsenx)+(-asenx+bcosx)-(acosx+bsenx)=cosx}\\\\ \mathsf{-6acosx-6bsenx-asenx+bcosx-acosx-bsenx=cosx}$

Agrupando os termos em comum

$\mathsf{-7acosx-7bsenx-asenx+bcosx=cosx}$

Monta um sistema, tudo que seno e outro o que tiver cosseno

 $\displaystyle \left \{ {{-7b-a=0} \atop {-7a+b=1}} \right.$

Da 1ª equação tiramos que
a = -7b

Substituindo na 2ª equação

-7a + b = 1
-7(-7b) + b = 1
49b + b = 1
50b = 1

$\displaystyle \mathsf{b= \frac{1}{50} }$

Substituindo o valor de 'b' na 2ª equação

$\displaystyle \mathsf{-7a+b=1}\\\\\mathsf{-7a+ \frac{1}{50} =1}\\\\\mathsf{-7a= \frac{49}{50} }\\\\\mathsf{a=- \frac{1}{\diagup\!\!\!\!7}\cdot \frac{\diagup\!\!\!\!\!\!49}{50} }\\\\\\\mathsf{a=- \frac{7}{50} }$

A solução particular ficou desse forma

$\displaystyle \mathsf{Y_P= -\frac{7}{50}cosx~+ \frac{1}{50}senx }$


Por fim A solução geral

Yg = Yh + Yp

$\displaystyle \boxed{\mathsf{Y_G=C_1e^{ \frac{1}{3}x }~+~C_2e^{ -\frac{1}{2}x }~- \frac{7}{50}cosx~+ ~\frac{1}{50}senx }}}$