Question

Solucione a equação 2sen x - 3 cossec x + 5 = 0 no intervalo 0 < x < 2π

Answer 1

Temos que:

$2 \sin(x) - 3 \csc(x) + 5 = 0 \\ 0 < x < 2\pi$

Primeiro devemos expandir a expressão, para isso vamos lembrar que:

$\: \: \: \: \: \: \:\bullet \: \: \: \csc(x )= \frac{1}{ \sin(x)} \: \: \: \bullet$

Substituindo essa informação:

$2 \sin(x) - 3. \frac{1}{ \sin(x)} + 5 = 0 \\ \\ 2 \sin(x) - \frac{3}{ \sin(x)} + 5 = 0 \: \: \: \: \\ \\ \frac{2 \sin(x). \sin(x) - 3} {\sin(x)} + 5 = 0 \\ \\ \frac{2 \sin {}^{2}(x) - 3 + 5 \sin(x) }{ \sin(x)} = 0 \\ \\ 2 \sin {}^{2} (x) + 5 \sin(x) - 3 = 0$

Agora é só resolvermos essa equação toda em função do seno. Primeiramente vamos fazer uma substituição, ou seja, dizer que y = sin(x):

$2 (\sin(x)) {}^{2} + 5 \sin(x) - 3 = 0 \\ 2y {}^{2} + 5y - 3 = 0 \\y_1= \frac{1}{2} \: \: e \: \: y_2= - 3$

O valor de y2 = -3 pode ser descartado, pois como sabemos o seno está entre -1 e 1 (-1 ≤ sin(x) ≤ 1). Portanto temos apenas y1 = 1/2. Agora devemos substituir esse valor naquela substituição que fizemos:

$y = \sin(x) \: \to \: \sin(x) = \frac{1}{2} \\ \\ x = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) \: \to \: \: \boxed{ x = 30 {}^{o} \: ou \: \frac{\pi}{6} }$

A questão ainda fala que x está entre 0 e 2π, então para englobar todos os resultados de 0 a 2π, a solução geral passa a ser:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: S = \left \{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\} \: \: \bullet$