Question

solucionado e descrito por favor

Answer 1

• Soma/subtração do arco cosseno

$Cos(x+y) = Cos(x).Cos(y) - Sen(x).Sen(y)$

$Cos(x-y) = Cos(x).Cos(y) + Sen(x).Sen(y)$

A questão nos dá o seguinte:  

$Cos(x) = -\frac{1}{3}$, com $\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{1}$ ( 2°quadrante )

E nos pede:

$Cos(x-\frac{\pi}{6})$

Então vamos abrir o arco subtração do cosseno

$Cos(x-\frac{\pi}{6}) = Cos(x).Cos(\frac{\pi}{6}) + Sen(x).Sen(\frac{\pi}{6})$

sabendo que $\frac{\pi}{6} = 30$, então :

$Cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $Sen(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

substituindo :

$Cos(x-\frac{\pi}{6}) = Cos(x).\frac{\sqrt{3}}{2} + Sen(x).\frac{1}{2}$

também sabemos o Cos(x), substituindo :

$Cos(x-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} + Sen(x).\frac{1}{2}$

Note que só precisamos so Seno(x), então vamos calculá-lo usando a relação fundamental da trigonometria

$Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1$

$Sen^2(x) + (-\frac{1}{3})^2 = 1$

$Sen^2(x) + \frac{1}{9} = 1$

$Sen^2(x) = 1 - \frac{1}{9}$

$Sen^2(x) = \frac{8}{9}$

$Sen(x) = \pm \sqrt{\frac{8}{9}}$

$Sen(x) = \pm 2.\frac{\sqrt{2}}{3}$

A questão informa o intervalo no 2° quadrante, e o Seno no 2° quadrante é positivo, logo vamos pegar só a parte positiva da resposta do Sen(x)

$Sen(x) = +2\frac{\sqrt{2}}{3}$

Agora vamos substituir na equação original

$Cos(x-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} + Sen(x).\frac{1}{2}$

$Cos(x-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} + 2.\frac{\sqrt{2}}{3}.\frac{1}{2}$

$Cos(x-\frac{\pi}{6}) = \frac{-\sqrt{3} + 2.\sqrt{2}}{6}$