Question

Solução para y''+3y'=0, sendo: y(0)=2 e y'(0)=3

Answer 1

Começamos por introduzir o operador derivação $\textrm{D}$ tal que:

$\textrm{D}y = y', \textrm{D}^2 = y'', \dots$

A equação diferencial pode ser reescrita na forma:

$y'' + 3y' = 0 \iff \textrm{D}^2y + 3\textrm{D}y = 0 \iff \left(\textrm{D}^2+3\textrm{D}\right)y = 0.$

Fazendo agora $\textrm{D} \to \lambda$, obtemos o polinómio característico:

$p(\lambda) = \lambda^2+3\lambda.$

Podemos agora fatorizar e determinar os zeros de $p$:

$p(\lambda)=0 \iff \lambda^2 + 3\lambda = 0 \iff \lambda(\lambda + 3) = 0 \iff \lambda = 0 \textrm{ ou } \lambda = -3.$

Como são ambos zeros simples, as soluções serão geradas pelo conjunto:

$\left\{\textrm{e}^{0\timesx}, \textrm{e}^{-3x}\right\} = \left\{1,\textrm{e}^{-3x}\right\},$

ou seja, a solução geral é:

$y(x) = a + b\textrm{e}^{-3x}, \quad \textrm{com } a, b \in\mathbb{R}.$

A derivada é simplesmente:

$y'(x) = \left(a + b\textrm{e}^{-3x}\right)' = -3b\textrm{e}^{-3x}.$

Usando a condição inicial $y'(0) = 3$, vem:

$y'(0) = 3 \iff -3b\textrm{e}^{-3\times 0} = 3 \iff -3b = 3 \iff b = -1.$

Usando a condição inicial $y(0) = 2$, vem:

$y(0) = 2 \iff a -\textrm{e}^{-3\times 0} = 2 \iff a-1 = 2 \iff a = 3.$

A solução do problema de valor inicial é então:

$y(x) = 3 - \textrm{e}^{-3x}.$