Solta-se uma bola de uma determinada altura h. Após cada toque no solo,a bola alcança uma altura máxima que é de 90% da altura máxima anterior. A partir de qual toque no solo,a bola alcança,pela primeira vez,altura máxima menor que h/2 ?
Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47
Soluções para a tarefa
Resposta:
A partir da sétima vez que a bola toca no solo.
Explicação passo-a-passo:
Após a primeira vez que a bola toca no solo a sua próxima altura máxima será:
h1=0,9.h
Após a segunda vez que a bola toca no solo a sua próxima altura máxima será:
h2=0,9.h1=0,9.(0,9.h)=0,9²h
Após a terceira vez que a bola toca no solo a sua próxima altura máxima será:
h3=0,9.h2=0,9.(0,9²h)=0,9³h
E assim sucessivamente
observe que:
hn=0,9^(n).h
Do enunciado:
hn < h/2
Substituindo:
0,9^(n).h < h/2
log(0,9)^(n) < log(1/2)
n.log(9/10) < log(2^(-1))
n.(log9-log10) < -log2 => .(-1)
n.(1-log3^2) > 0,30
n.(1-2log3) > 0,30
n.(1-2.0,47) > 0,30
0,06.n > 0,30
n > 5
Vamos verificar:
Após a primeira vez que a bola toca no solo a sua próxima altura máxima será:
h1=0,9.h
...
Após a sexta vez que a bola toca no solo a sua próxima altura máxima será:
h6=0,9^6.h≈0,53....h
Após a sétima vez que a bola toca no solo a sua próxima altura máxima será:
h7=0,9^7.h≈0,48.h <= esse valor é menor do 0,5.h
Observe que tive que aplicar vários valores para n > 5. Isso ocorreu porque os logaritmos não foram devidamente aproximados. Se você fizer a conta na calculadora comprovará que n > log(0,5)/log(0,9) > 6,6 o que é bem próximo de 7.