Matemática, perguntado por garibacamposedu, 3 meses atrás

Sofia está tentando transformar a fração ponto (2 + 4 + 6 +... + 2020 + 2022) - 1 + 3 + 5 +... +2019+ 2021)
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2022 x 45 - 35 x 2022
Em uma fração irredutível podemos afirmar que a resposta é correta que sofria a encontrar é?

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por ncastro13

A alternativa C é a correta. A fração irredutível que representa a fração dada é 1/20.

Podemos simplificar a fração a partir da fórmula para soma de progressões aritméticas finitas.

Soma de uma Progressão Aritmética Finita

A soma de uma progressão aritmética finita é dada pela fórmula:

$\boxed{ S_{n} = (\dfrac{a_{1}+a_{n}}{2}) \cdot n }$

Em que:

a₁ é o primeiro termo;

an é o enésimo termo da progressão;

n é o número termos da progressão.

Observe que a soma:

$\boxed{(2+4+6+8+10+12+...+2022)}$

É uma soma finita de uma progressão aritmética de razão 2. Podemos escrever:

$S_{p} = \dfrac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n \\\\S_{p} = \dfrac{2+2022}{2} \cdot 1011 \\\\S_{p} = \dfrac{2024}{2} \cdot 1011 \\\\S_{p} = 1012 \cdot 1011 \\\\$

O mesmo pode ser feito para a soma:

$\boxed{(1+3+5+7+9+11+...+2021)}$

Que pode ser escrita como:

$S_{im} = \dfrac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n \\\\S_{im} = \dfrac{1+2021}{2} \cdot 1011 \\\\S_{im} = \dfrac{2022}{2} \cdot 1011 \\\\S_{im} = 1011 \cdot 1011 \\\\$

Substituindo o produto obtido na fração:

$\dfrac{(2+4+6+8+10+12+...+2022)-(1+3+5+7+9+11+...+2021)}{2022 \cdot 45 - 35 \cdot 2022} =\\\\= \dfrac{1012 \cdot 1011-1011 \cdot 1011}{2022 \cdot 45 - 35 \cdot 2022} = \\\\ = \dfrac{1011 \cdot (1012-1011)}{2022 \cdot(45-35)} = \\\\ = \dfrac{1011 \cdot 1}{2022 \cdot 10} = \\\\ = \dfrac{1}{20}$