Question

SOCORRO MATEMATICOS
Questao de FUNÇÃO

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$f(x) = \begin{cases} \alpha x - \beta, \: x \leqslant 1 \\ 3x , \: 1 < x < 2 \\ \beta x {}^{2} - \alpha , \: x \geqslant 2 \end{cases}$

A questão quer saber os valores de a e b que tornam essa função contínua. Para isso devemos trabalhar com os limites laterais, primeiro com x tendendo a esquerda e a direta de 1 e depois o x tendendo a direita e a esquerda de 2.

• Limite de x tendendo a 2:

$\lim_{x\to2 {}^{ + } } \beta x {}^{2} - \alpha = \lim_{x\to2 {}^{ - } }3x \\ \beta .2 {}^{2} - \alpha = 3.2 \\ 4 \beta - \alpha = 6$

A função quando x tende a direta (+) de 2 é dada por bx² - a, pelo fato de que essa função é usada quando tem-se x ≥ 2, ou seja, valores maiores que 2, não exatamente o 2 em si. Do mesmo jeito para x tendendo a esquerda (-) de 2.

• Limite de x tendendo a 1:

$\lim_{x\to1 {}^{ + } }3x= \lim_{x\to1 {}^{ - } }ax - \beta \\ 3.1 = \alpha .1 - \beta \\ 3 = \alpha - \beta$

A explicação é a mesma do item anterior.

→ Agora vamos pegar essas expressões e montar um sistema, para que possamos descobrir o valor de a e b:

$\begin{cases} 4 \beta - \alpha = 6 \\ \alpha - \beta = 3\end{cases}$

Resolvendo pelo método da adição:

$\alpha - \alpha + 4 \beta - \beta = 6 + 3 \\ 3 \beta = 9 \\ \boxed{ \beta = 3}$

Substituindo o valor de "b" em uma das relações:

$\alpha - \beta = 3 \\ \alpha - 3 = 3 \\ \alpha = 3 + 3 \\ \boxed{ \alpha = 6}$

Portanto são esses os valores que tornam a função contínua.

Espero ter ajudado