Question

SOCORRO GENTE, É URGENTE
A abscissa de um ponto P é -6 e sua distancia ao ponto Q(1,3) é √74. Determine a ordenada do ponto P.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

A questão nos informa que a abscissa do ponto P é -6 e pergunta a ordenada, ou seja, a coordenada do ponto P é:

P(-6,y)

Para calcular a distância vamos usar a seguinte fórmula:

$\boxed{d \: = \sqrt{(xq - xp) {}^{2} + (yq - yp) {}^{2} } }$

Agora vamos identificar os valores de xq, xp....

$\begin{cases} P(6,y) \rightarrow xp = 6 \: \: \: \: \: yp = y \\ Q(1,3) \rightarrow xq = 1 \: \: \: \: \: yq = 3\end{cases}$

A questão nos informa também que a distância (d) entre esses pontos é igual a √74, ou seja:

d = √74

Substituindo os dados na fórmula:

$d (pq) = \sqrt{(xq - xp){}^{2} + (yq - yp) {}^{2} } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{(1 - 6) {}^{2} + (3 - y) {}^{2} } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{( - 5) {}^{2} + (9 - 6y + y {}^{2} ) } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{25 + 9 - 6y + y {}^{2} } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{y {}^{2} - 6y + 34}$

Para cancelar essas raízes devemos elevar ambos os membros ao quadrado, pois como o índice é igual ao expoente as raízes vão ser canceladas.

$( \sqrt[ \cancel2]{74}) {}^{ \cancel2} = ( \sqrt[ \cancel2]{y {}^{2} - 6y + 34 } ) {}^{ \cancel2} \\ \\ 74 = y {}^{2} - 6y + 34 \\ \\ y {}^{2} - 6y + 34 - 74 = 0 \\ \\ \boxed{{y}^{2} - 6y - 40 = 0}$

Agora vamos resolver essas equação do segundo grau.

I) Coeficientes:

$\begin{cases}a = 1 \\ b = -6 \\ c = - 40 \end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{y = \frac{ -b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4ac} }{2a} } \\ \\ y = \frac{ - ( - 6) \pm \sqrt{( - 6) {}^{2} - 4.1.( - 40)} }{2.1} \\ \\ y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 160} }{2} \\ \\ y = \frac{6 \pm \sqrt{196} }{2} \\ \\ y = \frac{6 \pm14}{2} \\ \\ y_1 = \frac{6 + 14}{2} \\ y_1 = \frac{20}{2} \\ \boxed{y _1 = 10 } \\ \\ y_2 = \frac{6 - 14}{2} \\ y_2 = \frac{ - 8}{2} \\ \boxed{y_2 = - 4}$

Portanto o valor de da Ordenada de P pode assumir dois valores.

Resposta: x = 10 ou x = -4

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores das ordenadas para o ponto "P" são, respectivamente:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = -2\:\:\:e\:\:\:y'' = 8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Analisando o enunciado, podemos montar os seguintes dados:

                          $\Large\begin{cases}d_{\overline{PQ}} = \sqrt{74}\\P = (-6,\,y)\\ Q = (1, 3)\end{cases}$

Sabendo que a distância entre os pontos "P" e "Q" pode ser desenvolvida a partir da seguinte estratégia:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{\overline{PQ}} = \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}}\end{gathered} }$

Para facilitar os cálculos podemos inverter os membros da equação "I". Então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}} = d_{\overline{PQ}}\end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "II", temos:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}} = \sqrt{74}\end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2} = (\sqrt[\!\diagup]{74})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (1 + 6)^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 49 + 9 - 6y + y^{2} = 74\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y + 49 + 9 - 74 = 0\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y - 16 = 0\end{gathered}$

Chegando na equação do segundo grau, devemos calcular as raízes. Então, temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot(-16)}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{36 + 64}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{100}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{6\pm10}{2}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\pm5\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

     $\Large\begin{cases} y' = 3 - 5 = -2\\y'' = 3 + 5 = 8\end{cases}$

Portanto, as ordenadas do ponto P pertencem ao seguinte conjunto solução:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-2,\,8\}\end{gathered}$

✅ Desta forma, as possíveis coordenadas do ponto P são:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} P' = (-6,\,-2)\:\:\:e\:\:\:P'' = (-6,\,8)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/5548456
2. https://brainly.com.br/tarefa/47731045
3. https://brainly.com.br/tarefa/48223855
4. https://brainly.com.br/tarefa/48294216
5. https://brainly.com.br/tarefa/48342581
6. https://brainly.com.br/tarefa/48342320
7. https://brainly.com.br/tarefa/48427939
8. https://brainly.com.br/tarefa/25233742
9. https://brainly.com.br/tarefa/9908573
10. https://brainly.com.br/tarefa/4320442
11. https://brainly.com.br/tarefa/25857859
12. https://brainly.com.br/tarefa/5397310
13. https://brainly.com.br/tarefa/8143366
14. https://brainly.com.br/tarefa/10543188
15. https://brainly.com.br/tarefa/3158414
16. https://brainly.com.br/tarefa/8349553

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$