Question

Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos distintos. Determine quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices nesses pontos.

Answer 1

Resposta:

Olá Fabysantos2017, vamos resolver esta questão com base nos conhecimentos de Análise Combinatória. Vamos lá:

Explicação passo-a-passo:

Seja a circunferência como na figura 1. Marcamos os pontos como na figura 2 e depois montamos um quadrilátero qualquer como na figura 3. Observe que o passo 3 se repetirá um certo número de vezes. Mas quantos?

Vamos construir em forma de conjuntos.  Temos os sete pontos:

$A=\{p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7\}$

Note que, tomar os pontos p1,p2,p3 e p4 é a mesma coisa que tomar os pontos p4,p2,p3 e p1. Logo, se trata de uma combinação.

Devemos tomar 4 pontos destes 7 para formar quadriláteros convexos.

Vamos calcular a combinação de 7 pontos tomados 4 a 4. Temos:

$C^7_4=\frac{7!}{4!.(7-4)!}=\frac{7.6.5.4!}{4!.3!}=\frac{840}{6}=140$

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!