Question

Sobre uma circuferencia sao marcadas 6 pontos A, B, C, D, E, F .
a) Quantos seguimentos diferentes com extremidade em dois desses pontos podem ser traçados?

b) Quantos triangulos diferentes com verticais desses pontos, podem ser alinhados?

Answer 1

Total de combinações simples de $n$ elementos tomados $k$ a $k$:

$\boxed{C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!\cdot \left(n-k \right )!}}$


a) Como o segmento $\overline{AB}$ é o mesmo segmento $\overline{BA}$ (a ordem é irrelevante), então temos um problema de combinações simples.

O total de segmentos distintos que podem ser formados é o total de combinações simples de $6$ pontos, tomados $2$ a $2$, que é

$C_{6,2}=\dfrac{6!}{2!\cdot \left(6-2 \right )!}\\ \\ =\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}\\ \\ =\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!}\\ \\ =\dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}\\ \\ =\boxed{15 \text{ segmentos}}$


b) Em uma circuferência, nunca teremos três pontos pertencentes à mesma reta. Logo, podemos formar um triângulo com qualquer combinação de $3$ destes pontos.

Como o triângulo $ABC$ é o mesmo triângulo $BCA$ (a ordem é irrelevante), temos novamente um problema de combinações simples.

O total de triângulos distintos que podemos formar com vértices nestes pontos é o total de combinações simples destes $6$ pontos, tomados $3$ a $3$:

$C_{6,3}=\dfrac{6!}{3!\cdot \left(6-3 \right )!}\\ \\ =\dfrac{6!}{3!\cdot 3!}\\ \\ =\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3!}\\ \\ =\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ \\ =\boxed{20 \text{ tri\^{a}ngulos}}$

Answer 2

Resposta:

=> QUESTÃO - a) 15 <--- Número de segmentos de reta

=> QUESTÃO - b) 20 <---- número de triângulos

Explicação passo-a-passo:

.

=> QUESTÃO - a)

=> Para definir uma reta bastam 2 pontos ...assim:

..o número (N) de segmentos de reta com extremidades em 2 desses pontos será dado por:

N = C(6,2)

N = 6!/2!(6-2)!

N = 6.5.4!/2!4!

N = 6.5/2

N = 15 <--- Número de segmentos de reta

=> QUESTÃO - b)

..para definir um triangulo pelos seus vértices necessitamos de 3 pontos (não colineares ...(neste caso não serão nunca colineares) ...assim:

O número (N) de triângulos que se podem traçar tendo 3 desses pontos como vértices será dado por:

N = C(6,3)

N = 6!/3!(6-3)!

N = 6.5.4.3!/3!3!

N = 6.5.4/6

N = 5.4

N = 20 <---- número de triângulos

Espero ter ajudado

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