Question

Sobre todos os arcos que podem ser representados pela expressão x= k.π + (π/4), sendo K pertencente aos inteiros, é correto afirmar que: tem suas extremidades no primeiro ou terceiro quadrantes. Como eu faço pra saber que ele tem extremidades no primeiro ou terceiro quadrantes?

Answer 1

É dada a seguinte informação:

$x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\,,~~~~\text{ com }k\text{ inteiro.}$


$\bullet\;\;$ Caso 1.

Se $k$ for par, isto é

$k=2n\,,\text{ para algum }n \text{ inteiro,}$


então, temos que

$x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$


Para qualquer valor inteiro de $n,~~x$ será um arco côngruo a $\dfrac{\pi}{4},$ isto é, $x$ terá a mesma extremidade que o arco $\dfrac{\pi}{4}.$


Como $\dfrac{\pi}{4}$ tem extremidade no primeiro quadrante, então,

$x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$

também tem extremidade no primeiro quadrante, qualquer que seja $n$ inteiro.


$\bullet\;\;$ Caso 2.

Se $k$ for ímpar, isto é

$k=2n+1\,,\text{ para algum }n\text{ inteiro,}$


então, temos que

$x=\dfrac{\pi}{4}+(2n+1)\pi\\ \\ \\ x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi+\pi\\ \\ \\ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{4}+2n\pi\\ \\ \\ x=\dfrac{\pi+4\pi}{4}+2n\pi\\ \\ \\ x=\dfrac{5\pi}{4}+2n\pi$


De forma análoga ao caso 1, todos os arcos $x$ são côngruos ao arco $\dfrac{5\pi}{4}.$ Como $\dfrac{5\pi}{4}$ tem extremidade no terceiro quadrante, então

$x=\dfrac{5\pi}{4}+2n\pi$

também tem extremidade no terceiro quadrante, qualquer que seja $n$ inteiro.


$\bullet\;\;$ Conclusão: Pelos casos 1 e 2, temos que

$x$ tem suas extremidades no primeiro ou terceiro quadrantes.