Question

Sobre os números reais a e b sabe-se que a + b = 6 e que. 1/a + 1/b = 3/2 . O valor de a^2 + b^2 é :​

Answer 1

Resposta:

a²+b²=28

Explicação passo-a-passo:

a + b = 6 a=(6-b)

Substituindo na equação abaixo:

1/a + 1/b = 3/2

1/(6-b)+1/b=3/2

[(6-b)+b]/[b.(6-b)] =3/2

3.[b.(6-b)]=2.[(6-b)+b]

3.[-b²+6b]=2.[6]

[-b²+6b]=2.(6/3)

-b²+6b=2.(2)

-b²+6b-4=0 (resolvendo essa equação)

∆=b²-4.a.c

∆=(6)²-4.(-1).(-4)

∆=36-16

∆=20

b'=[-(+6)+√20]/2.(-1)

b'=[-6-2√5]/-2

b'=(3-√5)

b"=[-(+6)-√20]/2.(-1)

b"=[-6-2√5]/-2

b"=(3+√5)

Encontrando os valores de a :

a'= (6-b)=6-(3-√5)=(3+√5)

a"=(6-b)=6-(3+√5)=(3-√5)

Substituindo teremos , então :

a²+b²= (3+√5)²+(3-√5)²

a²+b²=(9+6√5+5)+(9-6√5+5)

a²+b²=(14+6√5)+(14-6√5)

a²+b²=14+14+6√5-6√5

a²+b²=28+0

a²+b²=28 (resposta)

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\mathtt{28}}$

Explicação passo-a-passo:

De acordo com o enunciado,

$\displaystyle \mathtt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2}}$

Desenvolvendo,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2}} \\\\ \mathsf{\frac{b + a}{ab} = \frac{3}{2}} \\\\ \mathsf{\frac{b + a}{ab} = \frac{3k}{2k}, \qquad \quad \forall \, k \in \mathbb{R}^{\ast}}$

Mas, sabemos que $\displaystyle \mathtt{a + b = 6}$. Daí, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{a + b = 3k} \\\\ \mathsf{6 = 3k} \\\\ \boxed{\mathsf{k = 2}}$

Com efeito, uma vez que $\displaystyle \mathtt{ab = 2k}$

$\\ \displaystyle \mathsf{ab = 2k} \\\\ \mathsf{ab = 2 \cdot 2} \\\\ \boxed{\mathsf{ab = 4}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab - 2ab} \\\\ \mathsf{a^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab} \\\\ \mathsf{a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2 \cdot ab} \\\\ \mathsf{a^2 + b^2 = (6)^2 - 2 \cdot 4} \\\\ \mathsf{a^2 + b^2 = 36 - 8} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a^2 + b^2 = 28}}}$