Question

Sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC, tomam-se os pontos M e N, tais que MN//BC e MN passa pelo incentro de ABC. Calcule a medida de MN, sabendo que AB = 10, BC = 11 e AC = 12

Answer 1

Comentário inicial: Veja a resolução escrita que foi anexada.

Como MN é paralelo a BC, os triângulos AMN e ABC são semelhantes já que AMN = ABC, ANI = ACB E MAN = BAC. Daí, sabemos que MN = BC * AM/AB

Pelo teorema de Tales, AM/AB = AI/AD

Agora, pelo teorema da bissetriz interna,

AB/BD= AI/AD (*) e AB/AC = BD/DC

De (**), AB/(AB+AC) = BD/BC o que implica em BD = (AB*BC)/(AB+AC)

De (*) , AI/AD = AB/(AB + BD) ⇒ AI/AD = $\frac{AB}{AB+\frac{AB*BC}{AB+AC}}=\frac{AB+AC}{AB+BC+AC}$

Logo, MN = 11 * 22/33 = 22/3

Espero ter ajudado. Caso tenha dúvidas quanto a resolução deixe nos comentários.